证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分 P(x+△x,y+y)属于P的某个邻域 △=AAx+BAy+0()总成立, 当4y=0时,上式仍成立此时=Ax, ∫(x+△x,y)-∫(x,y)=A·△x+o(△xD mf(x+△Ax,y)-(x,y Oz A △ ax 同理可得B ay 上一页下一页返回
证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P ( x + x, y + y)属于P 的某个邻域 z = Ax + By + o() 总成立, 当y = 0时，上式仍成立，此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x = + − → ( , ) ( , ) lim 0 , x z = 同理可得 . y z B =
元函数在某点的导数存在<微分存在 多元函数的各偏导数存在→全微分存在 y x2+y2≠0 例如,f(xy)={√x+y 0 2 2 x+ 0 在点(0,0)处有 fx(0,0)=f1(0,0)=0 上一页下一页返
一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 + = + = + x y x y x y xy f x y 在点(0,0)处有 f x (0,0) = f y (0,0) = 0