ut ed 第五节隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 方程组的情形 三、由方程组确定的反函数的求导 公式
第五节 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、由方程组确定的反函数的求导 公式
个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x2y)的 某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x02y0)=0 F(x02y)≠0,则方程F(x,y)=0在点P(x0,y0)的 某一邻域內恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数y=f(x),它满足条件y=∫(x),并 有 隐函数的求导公式 上一页下一页现回
1.F(x, y) = 0 隐函数存在定理1 设函数 在点 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 则方程 在点 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数y = f (x)，它满足条件 并 有 . 隐函数的求导公式 F(x, y) ( , ) 0 0 P x y F(x0 , y0 ) = 0 ( , ) 0, F y x0 y0 F(x, y) = 0 ( , ) 0 0 P x y ( ), 0 x0 y = f y x F F dx dy = − 一、一个方程的情形
例1验证方程x2+y2-1=0在点0)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且=0时y=1 的隐函数y=∫(x)并求这函数的一阶和二阶导 数在x=0的值 解令F(x,y)=x2+y2-1 则F=2x,F=2y, F(0,1)=0,F,(O,1)=2≠0, 依定理知方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且=0时y=1的 函数y=∫(x) 上一页下一页返回
解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − 则 F 2x, x = F 2 y, y = F(0,1) = 0, (0,1) = 2 0, F y 例１ 验证方程 在点 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 时 的隐函数 ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 的值. 1 0 2 2 x + y − = (0,1) x = 0 y =1 x = 0 y = f (x) 依定理知方程 在点 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且 时 的 函数 ． 1 0 2 2 x + y − = (0,1) x = 0 y =1 y = f (x)
函数的一阶和二阶导数为 y 小y 0 x=0 y-t dy y-xy 2 3 2 0 上一页下一页现回
函数的一阶和二阶导数为 y x F F dx dy = − , y x = − 0, 0 = dx x= dy 2 2 2 y y xy dx d y − = − 2 y y x y x − − = − , 1 3 y = − 1. 0 2 2 = − x= dx d y
例2已知In√x2+y2= arctan,求 解令F(x,y)=ln、x2+py2- arctan xt y 则F(x,y)=-2 F,(x,y)=x2 r + y r t y 小yF J 上一页下一页返回
. 解 令 ( , ) ln arctan , 2 2 xy F x y = x + y − 则 ( , ) , 2 2 x y x y F x y x ++ = ( , ) , 2 2 x y y x F x y y +− = yx FF dx dy = − . y x x y −+ = − 例 2 已知 ln 2 2 arctan , 求 xy x + y = dx dy