ut ed 第三节三重积分的概念及其 直角坐标计算法 三重积分的定义 二问题的提出 直角坐标下的三重积分计算 小结
第三节 三重积分的概念及其 直角坐标计算法 一 三重积分的定义 二 问题的提出 三 直角坐标下的三重积分计算 四 小结
一、问题的提出 例非均匀物体的质量 设有一质量非均匀分布的物体,在空间直角坐标系中 占有空间区域2,体密度p(x,y,z是.2上的连续正值函数 求此物体的质量 将区域?分割成n个小块△v,当△v的直径很小时,在v 内任取一点(1,1,51,则(51,41,51)△v就是△v质量的近似 值,于是整个物体的质量的近似值为 M≈∑(5,4,51)△v 当所有△的最大直→0时,和式的极限就是本的质量 M=im∑p(5,)A 1→0 上一页下一页现回
一、问题的提出 例 非均匀物体的质量 . , , ) 求此物体的质量 占有空间区域 ，体密度 （ 是 上的连续正值函数， 设有一质量非均匀分布的物体，在空间直角坐标系中 x y z , , ), , , ) , 值，于是整个物体的质量的近似值为 内任取一点（ 则 （ 就 是 质量的近似 将区域 分割成 个小块 当 的直径很小时，在 i i i i i i i i i i i v v n v v v 当所有vi 的最大直径 → 0时，和式的极限就是物体的质量 = → = n i i i i i M v 1 0 lim , , ) （ = n i i i i i M v 1 （ , , )
二、三重积分的定义 设f(x,y,z是空间有界闭区域_上的有界 函数,将闭区域Ω2任意分成n个小闭区域△v1, △2,…,△vn,其中△v表示第个小闭区域,也表 示它的体积,在每个△上任取一点(51,m7,)作 乘积f(5;,71,5)·△v;,(i=1,2,…,m),并作和,如 果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分,记为 ∫ f(x, y, z)di 上一页下一页现回
设 f (x, y,z)是空间有界闭区域上的有界 函数，将闭区域任意分成 n个小闭区域 1 v ， 2 v ,, n v ，其中 i v 表示第i个小闭区域，也表 示它的体积, 在每个 i v 上任取一点( , , ) i i i 作 乘 积 i i i i f ( , , ) v ，(i = 1,2,,n)，并作和, 如 果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y,z)在闭区域上 的三重积分，记为 f (x, y,z)dv, 二、三重积分的定义
即∫(x,y)hv=lm∑f(,n2)△ 其中c叫做体积元素 1)在直角坐标系中,如平行于坐标面 的平面来划分9,则△v=△xAyA=adyz 由此三重积可记为 f(,y, z)dxdydz=lim>f(s, ni, Si )At →>0 2)密度为0(x,yz)的物体的质量表达为 M=∫x,atdh Q 其中ddy叫做直角坐标系中的体积元素 上一页下一页返回
即 f (x, y,z)d v i i i n i i = f v = → lim ( , , ) 1 0 . 其中dv 叫做体积元素 . , 1) 的平面来划分 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 v x y z dxdydz. 则 i = j k l = 其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素. 2)密度为(x, y,z)的物体的质量表达为 = M (x, y,z)dxdydz 由此三重积可记为 . f (x, y,z)dxdydz i i i n i i = f v = → lim ( , , ) 1 0
、三重积分的计算(直角坐标系下) 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 如图,闭区域g在xoy 面上的投影为闭区域D,2 z=2(x,y) S1:x=(x,y), S 2(x,y), 过点(x,y)∈D作直线, k=础x) 从z,穿入,从z,穿出 y2(x) 上一页下一页现回
直角坐标系中将三重积分化为三次积分． x y z o D 1 z 2 z S2 S1 ( , ) 1 z = z x y ( , ) 2 z = z x y a b ( ) y = y1 x ( ) (x, y) y = y2 x 如图， D, xoy 面上的投影为闭区域 闭区域 在 : ( , ), : ( , ), 2 2 1 1 S z z x y S z z x y = = 过点(x, y) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出． 三、三重积分的计算（直角坐标系下）