ut ed 第六节方向异数与梯度 问题的提出 方向导数的定义 方向导数的计算 梯度的概念
第六节 方向导数与梯度 一 问题的提出 二 方向导数的定义 三 方向导数的计算 四 梯度的概念
问题的提出 实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐 标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标 原点处有一个火焰,它使金属板受热.假定 板上任意一点处的温度与该点到原点的距离 成反比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂 蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的 地点? 问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方 向(即梯度方向)爬行 上一页下一页返回
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标 原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定 板上任意一点处的温度与该点到原点的距离 成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂 蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的 地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行． 一、问题的提出
二、方向导数的定义 讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向 的变化率问题 设函数z=∫(X,y)在点 P(x,y)的某一邻域U(P) 内有定义,自点P引射线l 设x轴正向到射线l的转角 为,并设P(x+△x,y+4y) 为l上的另一点且P∈U(p).(如图) 上一页下一页返回
讨论函数 在一点P沿某一方向 的变化率问题． z = f (x, y) o y x l • P x y • P • （如图） 内有定义，自点 引射线 ． 的某一邻域 设函数 在点 P l P(x, y) U(P) z = f (x, y) , ( , ) l P U( p). P x x y y x l + + 为 上的另一点且 为 并设 设 轴正向到射线 的转角 二 、方向导数的定义
PP|p=√(Ax)2+(4y), 且Δz=∫(x+Ax,y+^)-∫(x,y) △z 考虑 当P”沿着趋于P时, linf(x+Ay+y)-f(x,y是否存在? 上一页下一页返回
| PP |= ( ) ( ) , 2 2 = x + y 当 P 沿着 l 趋于 P 时， ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → 是否存在？ 且 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 考虑 z
定义函数的增量f(x+Ax,y+4)-f(x,y)与 PP两点间的距离p=√(Δx)2+(y)2之比值, 当P沿着l趋于P时,如果此比的极限存在, 则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数 记为f=1imf(x+Ax,y+A)-f(x,y) Olp→0 依定义,函数f(x,y)在点P沿着x轴正向1={】,0} y轴正向22={0,的方向导数分别为x, 沿着轴负向、y轴负向的方向导数是一∫x,fy 上一页下一页返回
{1,0} 1 e = r 依定义，函数f (x, y) 在点P沿着x轴正向 、 y 轴正向 {0,1} 2 e = r 的方向导数分别为 x y f , f； 沿着x轴负向、y 轴负向的方向导数是 x y − f ,− f . . ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → 则称这极限为函数在点 沿方向 的方向导数． 当 沿着 趋于 时，如果此比的极限存在， 两点间的距离 之比值， 定义 函数的增量 与 P l P l P PP = x + y 2 2 ( ) ( ) 记为 f (x + x, y + y) − f (x, y)