ut ed 第四节多元复合函数求导法则 链式法购 全微分形式不变性
第四节 多元复合函数求导法则 一 链式法则 二 全微分形式不变性
、链式法贝 复合函数的中间变量为一元函数的情形 定理1如果函数u=q(t及ν=y(t)都在点t可 导,函数=f(对应点(M,v)具有连续偏导 数,则复合函数z=f[q(t)2v(t)在对应点t可 导,且其导数可用下列公式计算: dz oz du a di dt au dt av dt 证设t获得增量△t 则△=q(t+)-q(t),Aν=v(t+△n)-y(t) 上一页下一页回
1 复合函数的中间变量为一元函数的情形 定理 1 如果函数 及 都在点 可 导，函数 在对应点 具有连续偏导 数，则复合函数 在对应点 可 导，且其导数可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz + = u = (t) v = (t) t z = f (u,v) (u,v) z = f [(t), (t)] t 证 设 t 获得增量 t 则u =(t + t) −(t), v = (t + t) − (t) 一、链式法则
由于函数x=∫(u,v)在点(2v)连续偏导数 z △+y+E,A+a△ au av 当A→>0,△卩→>0时,1→>0,62>0 △z△uOz△ν 41t △ E At du at dy△t△t2△t 当M→>O时,A→>0,Ap→0 △dle △dh △tdt 上一页下一页返回
, 1 2 v u v v z u u z z + + + = t v t u t v v z t u u z t z + + + = 1 2 , dt du t u → , dt dv t v → 由于函数 z = f (u,v) 在点 (u,v) 有连续偏导数 当 u →0,v →0 时， 1 → 0, 2 → 0 当 t → 0 时， u →0,v →0
az △, Oz du o dy 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. dz dt au dt av dt Ow dt 以上公式中的导数称为全导数 at 上一页下一页返回
lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t + = = → 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz + + = u v w z t 以上公式中的导数 称为全导数. dt dz
2复合函数的中间变量为多元函数的情形 z=∫[p(x,y)2v(x,y)] 定理2 如果=q(x,y)及=y(x,y都在点(x,y 具有对和y的偏导数且函数z=f(n,v)在对应 点(2ν)具有连续偏导数,则复合函数 z=∫[0(x,y)y(x,)在对应点x,y)的两个偏 导数存在,且可用下列公式计算 ozoz au az av + ax au ax"oν ax Oy au Oy Ov ay 上一页下一页回
z = f[(x, y), (x, y)]. 2 复合函数的中间变量为多元函数的情形 定理2 ， x v v z x u u z x z + = y v v z y u u z y z + = 如果 及 都在点 具有对 和 的偏导数且函数 在对应 点 具有连续偏导数，则复合函数 在对应点 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 u = (x, y) v = (x, y) (x, y) x y z = f (u,v) (u,v) z = f [(x, y), (x, y)] (x, y)