ut ed 第四节利用面坐标和球面 坐标计算重积分 柱面坐标系 二利用柱面坐标计算三重积分 球面坐标系 四利用球面坐标计算三重积分 五小结
一 柱面坐标系 二 利用柱面坐标计算三重积分 三 球面坐标系 四 利用球面坐标计算三重积分 五 小结 第四节 利用柱面坐标和球面 坐标计算三重积分
柱面坐标系 设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在 xoy面上的投影P的极坐标为r,,则这样的三 个数r,θ,z就叫点M的柱面坐标 规定:0≤r<+∞, 0<6<2兀 M(x,y, z) 0<Z<+0 注意:柱面坐标系就是平 P(r,) 面极坐标系加上z轴 上一页下一页返回
个数 r ,θ ,z 就叫点 M 的柱面坐标． xoy 面上的投影 P的极坐标为r ,θ，则这样的三 设 M(x,y ,z )为空间内一点，并设点 M 在 0 r +, 0 2, − z +. 规定： x y z o M(x, y,z) P(r, ) r • • 注意：柱面坐标系就是平 面极坐标系加上z 轴. 一 柱面坐标系
柱面坐标系的三坐标面是 r为常数→圆柱面; 8为常数一◆半平面: M(x,y,2) z为常数→平 面 柱面坐标与直角坐标的 关系为 b“P(r,O x=rcos 0 r ty 1y=rsin,或{tnO x Z=Z 上一页下一页返回
= = = . sin , cos , z z y r x r 柱面坐标与直角坐标的 关系为 柱面坐标系的三坐标面是 r 为常数 圆柱面； θ为常数 半平面； z 为常数 平 面． • M (x, y,z) P(r, ) • r z x y z o = = = + z z x y r x y tan 2 2 或
二利用柱面坐标计算三重积分 利用柱面坐标系的三组坐 标面来分割积分区域,如图, rde 由r和r+r,硎日+△,z和z+Az 所围成的小柱体的体稠似等于以 △r,rAG,Az为棱的长方体体积, 所以 de 体积元素为ch= rare, ∫(x,y=)=小( rcos 0,rsi,)r 上一页下一页现回
二 利用柱面坐标计算三重积分 f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) . = f r r z rdrddz d r x y z o dz dr 利用柱面坐标系的三组坐 rd 标面来分割积分区域，如图， 体积元素为 dv = rdrddz, 所 以 ， 为棱的长方体体积， 所围成的小柱体的体积近似等于以 由 和 和 ， 和 r r z r r r z z z , + , + +
例1计算/=| dxdydz,其中g是球面 x2+y2+z2=4与抛物面x2+y2=3z 所围的立体 解球面与抛物面交线为 r2+z2=4 3z →z=1r=√3 上一页下一页返回
例1 计 算 I = zdxdydz，其中是球面 4 2 2 2 x + y + z = 与抛物面x y 3z 2 2 + = 所围的立体. 解 = + = r z r z 3 4 2 2 2 z =1,r = 3, 球面与抛物面交线为