ut ed 第八节多孤函极与最值 多元函数的极值 二、条件极值、拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值 二、条件极值、拉格朗日乘数法 第八节 多元函数的极值与最值
、多元函数的极值 二元函数极值的定义 设函数z=f(x,y)点(x2,y)的某邻域内 有定义,对于该邻城内异于(x02y0)的点(x,y) 若满足不等式∫(x,y)<∫(x0,y0),则称函数 在(x0yV0)有极大值;若满足不等式 f∫(x,y)>f(x0,y),则称函数在(x2y)有极 小值 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 上一页下一页返回
一、多元函数的极值 极大值、极小值统称为极值 . 使函数取得极值的点称为极值点 . 1 二元函数极值的定义 设函数 在点 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于 的点 若满足不等式 ，则称函数 在 有极大值；若满足不等式 ，则称函数在 有极 小值； z = f (x, y) ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 0 x y (x, y) ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ( , ) 0 0 x y ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ( , ) 0 0 x y
例1函数z=3x2+4y2 (1) 在(00)处有极小值 例2函数z=-√x2+y (2) 在(0,0)处有极大值 例3函数=x (3) 在(0,0)处无极值 上一页下一页返回
(1) (2) (3) 例 1 函数 2 2 z = 3 x + 4 y 在 ( 0 , 0 ) 处有极小值． 例２函数 在 ( 0 , 0 ) 处有极大值． 2 2 z = − x + y ( 0 , 0 ) 例３在 处无极值． 函数 ( 0 , 0 ) z = xy
2多元函数取得极值的条件 定理1(必要条件) 设函数z=f(x,y)在点xy)具有偏导数,且 在点(xy)处有极值,则它在该点的偏导数必 然为零:f(x0y)=0,f(x,y)=0 证不妨设z=∫(x,y在点(x,y)处有极大值 则对于(x0,y)的某邻域内任意 (xy)≠(x,y)都有f(x,y)<f(x02y) 上一页下一页返回
2 多元函数取得极值的条件 定理 1（必要条件） 设函数 在点 具有偏导数，且 在点 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： ， . z = f (x, y) ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 0 x y f x (x0 , y0 ) = 0 f y (x0 , y0 ) = 0 证 ( , ) 0 0 不妨设 在点 x y 处有极大值, 则对于 的某邻域内任意 都有 , z = f (x, y) ( , ) 0 0 x y ( , ) ( , ) 0 0 x y x y ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y
故当y=y,x≠x时,有∫(x,y)<f(x,y) 说明一元函数f(x,y)在x=x0处有极大值, 必有∫(x02y)=0; 类似地可证∫,(x0,y)=0 推广如果三元函数=f(x,y,孔)在点P(x2yn,z) 具有偏导数,则它在P(x0y,)有极值的必要条 件为 ∫(x2y2z)=0;J(x,y,z)=0 ∫2(x0,y,可)=0 上一页下一页返回
故当 y = y0 , x x0 时，有 ( , ) ( , ) 0 0 0 f x y f x y 说明一元函数 f (x, y0 ) 在 x = x0 处有极大值， 必有 0 ; ( , ) f x x0 y0 = 类似地可证 ) 0 . ( , f y x0 y0 = 推广 如果三元函数 在点 具有偏导数，则它在 有极值的必要条 件为 u = f (x, y,z) ( , , ) 0 0 0 P x y z ( , , ) 0 0 0 P x y z ， . ( , , ) 0 ; f x x0 y0 z0 = f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0 f z (x0 , y0 ,z0 ) = 0