极限的四则运算法则二、村定理 3.若lim f(x)= A,lim g(x)= B,则有lim[f(x)±g(x)) = lim f(x)±limg(x) = A± B证:因lim f(x)= A,limg(x)=B,则有f(x)=A+αg(x)=B+β（其中α，β为无穷小）于是f(x)±g(x)=(A+α)±(B+β)=(A±B)+(α±β)由定理1可知α土β也是无穷小，再利用极限与无穷小的关系定理，知定理结论成立
二、 极限的四则运算法则 lim f ( x) A, lim g ( x) B , 则有 证: 因 lim f ( x) A, lim g ( x) B , 则有 f ( x) A , g ( x) B (其中 , 为无穷小) 于是 f ( x) g ( x) ( A ) (B ) ( A B) ( ) 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若
推论:若lim f(x)= A,lim g(x)= B,且 f(x)≥ g(x)则A≥B.提示： 令 Φ(x)= f(x)- g(x)利用保号性定理证明说明：定理3可推广到有限个函数相加、减的情形
推论: 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B, 且 f ( x) g ( x), 则 A B . ( x) f ( x) g ( x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令
定理4.若lim f(x)= A,lim g(x)= B,则有lim[f(x)g(x) = lim f(x) limg(x) = AB提示：利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明说明：定理4可推广到有限个函数相乘的情形推论1.lim[C f(x)l=Clim f(x)（为常数）推论2. lim[f(x)]n =[lim f(x)]n（n为正整数）例2. 设 n 次多项式 Pn(x)= ao +ajx +·+anx", 试证lim Pr(x)=Pn(xo)X→XO证: lim Pn(x)= ao +a lim x +...+ an lim xnx-→XoX-→XoX-→Xo= Pn(xo)
定理 4 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[C f ( x) ] C lim f ( x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f ( x) ] [lim f ( x)] ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x 证: lim ( ) 0 P x n x x
定理5.若lim f(x)= A,lim g(x)= B，且 B0,则有lim/()= limf(x) _4g(x)limg(x)Blim(x3 -1)x3-1例3.limlim(x-5x +3)x-2 x25x+3X→2(lim x)3 -1x=2时分母不为0！(limx)-5limx+3X-23
定理 5 . 若 lim f ( x) A, lim g ( x) B , 且 B≠0 , 则有 x = 2 时分母不为 0 ! 例3. 3 2 2 2 lim( 1) lim( 5 3) x x x x x 3 2 2 2 2 (lim ) 1 (lim ) 5lim 3 x x x x x x 7 . 3