9、设函数(x,以，)，(x,八，z)的各个偏导数都存在且连续，证明： (1)V(C)=CVw(其中C为常数)： (2)V(u±y)=Vu±Vv: (3)7(w)=Vu+Vv 4)的-wuw v- 路ucn-c袋c密c-c层倍-cm ou偿会是}信器}产会剖 =Vu±Vy 倍会+含会 =偎}会劉 =WVu+uVv w-9) 会 2 2 1 ou ou ou u ovovov v dx'dy'dv dx'dy'd _Wu-uVv 习题9-8 1、已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且
品浮 则下述四个选项中正确的是()， (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是f(x,)的极大值点。 (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点. (D)根据所给条件无法判断(0,0)是否为f(x,)的极值点. 解：令P=√2+y,则由题意可知 f(x.y)=x++op), 当(x,y)→(0,0)时，p→0. 由于fx,)在(0,0)附近的值主要由y决定，而y在(0,0)附近符号不定，故 点(0,0)不是f(x,)的极值点，应选(A). 本题也可以取两条路径y=x和y=-x来考虑当充分小时， fx,x)=x2+4x+o(x)>0, f(x,-x)=-x2+4x+o(x)<0 故点(0,0)不是f(x)的极值点，应选(A)。 6、从斜边之长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形 解：设直角三角形的两直角边之长分别为x,y,则周长 S=x+y+1(0<x<1,0<y<). 因此，本题是在x2+2=2下的条件极值问题，作函数 F(x,y)=x+y+1+(x2+y2-1). F=1+22x=0 解方程组写，=1+22y=0,得唯一可能的极值点x=y=互 x+y=p
根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在，所以斜边之长为/ 的一切直角三角形中，周养最大的是等腰直角三角形. 7、要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸方可 使表面积最小 解：设水池的长为x,宽为y,高为z,则水池的表面积为 S=xy+2.x2+2z(x>0,y>0,z>0). 本题是在条件z=k下，求S的最大值 作函数F(x,y,z)=y+2xz+2z+(z-k) [F=y+2z+z=0 解方程组 F,=x+2z+xz=0 F=2x+2y+元.y=0 xVZ=k 得唯一可能的极值点(2k,巫，}2) 由问题本身可知S一定有最小值，所以表面积最小的水池的长和宽都应为 2巫高为2k 8、在平面xOy上求一点，使它到x=0y=0及x+2y-16=0三直线距离平方 之和为最小 解：设所求点的坐标为(x,),则此点到x=0的距离为，到y-0的距离为 ，到x+2y-16=0的距离为+2y-=16.而距离平方之和为 V1+22 2=+y广++2y-16 =2x+2x+2y-16)=0 解方程组众 2++2-100 即Br+y-8=0 2x+9y-32=0 得唯一的驻点(，鸟，根据问愿的性质可知，到三直线的距高平方之和最小的
点定行在，故马即为所求 9、将周长为2的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各 为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？ 解：设矩形的一边为x,则另一边为(p一)，假设矩形绕P-x旋转，则旋转所 成圆柱体的体积为V=2(p-x). 由北-2ap-)-x2=a2p-3)=0,求得唯一驻点x=名P. 由于驻点唯一，由题意又可知这种圆柱体一定有最大值，所以当矩形的边长 为号和号时，光短边定转所得圆柱体体积最大 10、求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体. 解：设球面方程为x2+y2+z2=a2,(x,z)是它的各面平行于坐标面的内 接长方体在第一卦限内的一个顶点，则此长方体的长宽高分别为2x,2y,2z体 积为 V=2x.2y:2z=8.yz 令F(x,八，z)=8xz+x2+y2+z2-a2). [F=8z+2元x=0[4z+x=0 解方程组 如。8 F=8y+2z=0' x2+y2+z2=a2 x2+y2+z2=a2 得唯一驻点（分 由题意可如这种长方体必有最大体积所以当长方体的长、宽，高都为号时 其体积最大 11、抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原 点的距离的最大值与最小值， 解：设椭圆上点的坐标(x,y,z),则原点到椭圆上这一点的距离平方为
d产=x2+y2+z2,其中x,八，z要同时满足z=x2+y2和x+y+z=1. 令F(x,y,)=x2+y2+z2+元(2-x2-y2)+元，(x+y+2-1). [F=2x-22x+2=0 解方程组F=2y-2元y+乙=0， F=2z+11+元2=0 得驻点x=y=-1±5，：=2干5.它们是可能的两个极值点，由题意这种距离 的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值在两点处取得，因为在 驻点处 d=x+y+2=21±5+2干5=9年55， 2 所以d,=√9+55为最长距离；d,=V9-5万为最短距离. 12、设有一圆板占有平面闭区域《x,yx2+y2≤1，该圆板被加热，以致在 点(x,y)的温度是 T=x2+2y2-x 求该圆板的最热点和最冷点 解：解方程组 =2x-1=0, 求相先点传五=g=号 在边米+1止T2-+-+ 当x=时、有边米上的最大值-子=时，有边异上的最小值无=0， 比较，及的值如，最热点在±号}，工一子最冷点在行