二、标准正交基1.几何空间R3中的情况在直角坐标系下i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)是由单位向量构成的正交向量组，即(i,)) = (,k) = (k,i) = 0=1i,j,k 是 R’ 的一组基.89.2标准正交基区区
§9.2 标准正交基 1. 几何空间 R 3 中的情况 在直角坐标系下 i j k = = = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组，即 二、标准正交基 ( , ) ( , ) ( , ) 0, i j j k k i = = = i j k , , 是 的一组基. 3 R | | | | | | 1 i j k = = =
设 α=xi+yj+z,k, β=x,i+y,j+z,keR3①从 (α,i)=x, (α,j)=yr, (α,h)=zi得α=(α,i)i+(α,j)j+(α,)k② (α,β)= xix2 +yiy2 +zz2③[α=++Xix2 + yiy2 +z132④<α,β>= arccosx?+y?+z/x+y?+z即在基i,j,k下，R'中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式69.2标准正交基区区
§9.2 标准正交基 设 3 1 1 1 2 2 2 = + + = + + x i y j z k x i y j z k R , ① 从 1 1 1 ( , ) , ( , ) , ( , ) i x j y k z = = = ② 1 2 1 2 1 2 ( , ) = + + x x y y z z ③ 2 2 2 1 1 1 | | = + + x y z 得 = + + ( , ) ( , ) ( , ) i i j j k k ④ 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 , arccos x x y y z z x y z x y z + + = + + + + 即在基 i j k , , 下， R 3 中的与内积有关的度量性质有 简单的表达形式
2.7标准正交基的定义n维欧氏空间中，由n个向量构成的正交向量组称为正交基由单位向量构成的正交基称为标准正交基注:①由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基.89.2标准正交基
§9.2 标准正交基 n 维欧氏空间中，由 n 个向量构成的正交向量组 称为正交基； 2. 标准正交基的定义 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注： ① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基
n维欧氏空间V中的一组基,8n为标准正交基(608)-(8 18)i,j =1,2,.,n(1)n维欧氏空间V中的一组基i,8n为标准正交基R当且仅当其度量矩阵A=(s,6,))=En④n维欧氏空间V中标准正交基的作用：设8i,,8,为V的一组标准正交基，则69.2标准正交基V
§9.2 标准正交基 ② n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 ③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A E = = (( , ) . i j n ) 1 ( , ) , 1,2, , i j 0 i j i j n i j = = = ， (1) ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n 为V的一组标准正交基，则
(i) 设 α=xe+x&,+...+x,,eV由(1),(α,8,)=x,(2)有 α =(α,8)e +(α,8)82 +...+(α,8n)en(i) (a,βB)=+xy +.+y,-y,(3)i=1这里α=xe+x,e,+...+xnenβ= yiei + y2e, +...+ynen.(ii) lα = /x?+.+x?S9.2标准正交基?
§9.2 标准正交基 (i) 设 1 1 2 2 n n = + + + x x x V 由(1) ， ( , ) . i i = x (ii) 1 1 2 2 1 ( , ) n n n i i i x y x y x y x y = = + + + = (3) 这里 1 1 2 2 n n = + + + x x x ， 1 1 2 2 . n n = + + + y y y (iii) 2 2 1 | | n = + + x x 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 有 = + + + n n (2)