假设P(x0)=f(x)k=1,2,…,n an=f(x),1a1=f(x),2:a2=f"(x) ,!an=f"(x) 通过计算P(x0)=f6)(x0)k=1,2,…,n 得 1 f(k(xO 0)(k=0,1,2,…,n) ! 代入P(x)中得 Pn(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ f"(ol(x xa)2+ f(o X-d
假设 P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 ( ) = = ( ), 0 x0 a = f 代入P (x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − + = + − + 得 ( ) ( 0,1,2, , ) ! 1 0 ( ) f x k n k a k k = = 1 ( ), 1 0 a = f x 2! ( ) 2 x0 a = f , ! ( )0 ( ) n a f x n n = 通过计算P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 ( ) = =
三、泰勒( Taylor)中值定理 泰勒( Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有x 的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1阶的导数,则 当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个 n次多项式与一个余项R(x)之和 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ 2 0 0(x-x0)+R(x) (n+1) 其中Rn(x)= (2 (x-x0)在x0与之间)
三、泰勒(Taylor)中值定理 泰 勒(Taylor)中值定理 如果函数 f (x)在含有 0 x 的某个开区间(a,b)内具有直到(n + 1)阶的导数, ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 在x0与x 之间). 则 当x在(a,b)内时, f (x)可以表示为( ) 0 x − x 的一个 n次多项式与一个余项R (x) n 之和:
证明:由假设,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶 导数,且 Rn(x0)=R(x0)=Rn(x0)=…=R0"(x0)=0 两函数Rn(x)及(x-x0)在以x0及x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 R,(x) Rn(x)-r,(xo) n+I r- +1 X-x 0 Rn(51 (2在x与x之间) (n+1)(51-x
证明: 由假设,R (x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1)阶 导数,且 两函数R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在 以 0 x 及 x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( ) ( 1)( ) ( ) 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n + − = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R x0 = = R x = n n n n n