综上所述,即知对于任意>0,存在δ>0,当0<x-a<δ时, A≤l (x0)f(x)-f(x) f(xo)-Ag(xo) g(x)g(x)-g(xo) g(x) <2E+E=3 所以 lim A= lir x→a+ x→a十 g'(x) 证毕 以上结论在x→a±、x→a或x→∞(包括+∞和-∞)时都是成立 的
综上所述，即知对于任意 0，存在 0，当0 − x a 时， A g x f x − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 g x f x Ag x A g x g x f x f x g x g x − − + − − − + = 2 3 ， 所以 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a ( ) f x g x A f x → + → + g x = = 。 证毕 以上结论在 x → a 、x →a 或 x → （包括+∞和-∞）时都是成立 的
例5.2.1求im cOS 2x x→>0 解这是型。 因为(1-os2x)2 2sin x cosx2(x→0),由 Hospital法则,就 可以得到 s 2x lim 2 x→0 般可以写成如下格式: -coS 2x cOS 2x m =lim 2 sin x cos x SIn x =lim =2lim . lim cos x=2 x→>0
例5.2.1 求 2 0 1 cos 2 lim x x x − → 。 解 这是 0 0 型。 因为 2 2sin cos ( ) (1 cos 2 ) 2 = → − x x x x x （ x →0），由L'Hospital法则，就 可以得到 2 1 cos 2 lim 2 0 = − → x x x 。 一般可以写成如下格式： 2 2 0 0 0 0 0 1 cos 2 (1 cos 2 ) lim lim ( ) 2sin cos sin lim 2lim lim cos 2. x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → − − = = = =
arctan x 例522求1im2 x→+0 SIn 解由 L'Hospital法则得, T arctan x lim lim x→)+ x→)+0 SIn CoS lim x→+01+x lim cos
例5.2.2 求 π arctan 2 lim 1 sin x x x →+ − 。 解 由L'Hospital法则得， π arctan 2 lim 1 sin x x x →+ − − + − = →+ 2 2 1 1 cos 1 1 lim x x x x 1. 1 lim 1 lim cos 1 2 2 = + = →+ →+ x x x x x