例7.4.6求三叶玫瑰线r=asin30 ∈0,(图7.4.10)所围区域的面积。 图7.4.10
例 7.4.6 求三叶玫瑰线 r a = sin3 ， [0, π] (图 7.4.10)所围区域的面积
例7.4.6求三叶玫瑰线r=asin30 ∈0,(图7.4.10)所围区域的面积。 解由对称性,我们只求半叶“玫瑰”的 面积,这时O的变化范围是0,。 sin 30de T asin' odo 图7.4.10
解 由对称性，我们只求半叶“玫瑰”的 面积，这时 的变化范围是 π 0, 6 。 π 6 2 2 0 6 sin 3 d 2 a S = π 2 2 2 0 = a sin d = a 2 4 。 例 7.4.6 求三叶玫瑰线 r a = sin3 ， [0, π] (图 7.4.10)所围区域的面积
求曲线的弧长 首先来定义什么叫一段曲线的弧y 长 设平面曲线的参数方程为 y=y(t) t∈[1,2], P 对区间[7,72]作如下划分 P T=t0<1 n 于是便得到这条曲线上顺次排列的 n+1个点P,P…,P1,P=(x(4)y(t), 用PP表示连接点P1和P的直线段的 长度,那么相应的折线的长度可以表示 图74.11 为∑PP
求曲线的弧长 首先来定义什么叫一段曲线的弧 长。 设平面曲线的参数方程为 x x t y y t t T T = = ( ), ( ), [ , ] 1 2 ， 对区间[T , T ] 1 2 作如下划分： T1 = t 0 t 1 t 2 t n = T2， 于是便得到这条曲线上顺次排列的 n + 1个点 P0 P1 Pn , , , ， P x t y t i = i i ( ( ), ( )) ， 用 Pi−1 Pi 表示连接点 Pi−1 和 Pi的直线段的 长度，那么相应的折线的长度可以表示 为 Pi Pi i n − = 1 1 。 y x P0 P1 P2 P3 P4 P Pi i-1 Pn Pn-1 … … 图7.4.11
若当λ=max(M)→0时,极限im∑PP存在,且极限值与区间[,2]的 划分无关,则称这条曲线是可求长的,并将此极限值 l=lim∑P1P 入→>0=1 称为该条曲线的弧长 我国古代数学家刘徽、祖冲之等人用“割圆术”求圆周率π,用 的也正是这样的思想方法
若当 = → max( ) 1 0 i n i t 时，极限 lim → − = 0 1 1 Pi Pi i n 存在，且极限值与区间 1 2 T ,T 的 划分无关，则称这条曲线是可求长的，并将此极限值 l Pi Pi i n = → − = lim 0 1 1 称为该条曲线的弧长。 我国古代数学家刘徽、祖冲之等人用“割圆术”求圆周率 ，用 的也正是这样的思想方法
讨论 PaP=Vx(1)-x(t1-)2+Dy(1)-y(1) 若x(1)和y(1)在[T1T2]上连续,在(T,T2)上可导,则由 Lagrange中值定 理,存在n和属于(t-,t,),成立 x(L1)-x(t1-1)=x'(m)4t;,y(t1)-y(t-1)=y(a,)4t, 于是 P, P Ⅵx()+[y( (G)]2.4 由于n和a一般不会相同,上式还不是 Riemann和 ∑√x(5)2+[y1(5 ∈[t1,1 的形式,但两者已相当接近了。这提示我们,很有可能弧长l正是这 Riemann和的极限值
讨论： Pi−1 Pi = − − + − − [x(t ) x(t )] [ y(t ) y(t )] i i 1 i i 2 1 2 ， 若 x(t)和 y(t)在[T ,T ] 1 2 上连续，在(T ,T ) 1 2 上可导，则由 Lagrange 中值定 理，存在i和 i属于(t , t ) i−1 t ，成立 x t x t i i ( ) − ( −1 ) = i i x ( )t ， y t y t i i ( ) − ( −1 ) = i i y ( )t ， 于是 Pi Pi i n − = 1 1 = = + n i i i i x y t 1 2 2 [ ( )] [ ( )] 。 由于i 和 i 一般不会相同，上式还不是 Riemann 和 = + n i i i i x y t 1 2 2 [ ( )] [ ( )] ， [ , ] i i 1 t t t − 的形式，但两者已相当接近了。这提示我们，很有可能弧长l 正是这 一 Riemann 和的极限值