下面来求极坐标下的面积公式。 设曲线的极坐标方程r=r()是区间a,B上的连续函数(B-a≤2π), 求由两条极径=a、=B与r=r()围成的图形的面积S
下面来求极坐标下的面积公式。 设曲线的极坐标方程r = r( ) 是区间[, ]上的连续函数( − 2π )， 求由两条极径 = 、 = 与r = r( ) 围成的图形的面积S
下面来求极坐标下的面积公式。 设曲线的极坐标方程r=r()是区间a,B上的连续函数(B-a≤2π), 求由两条极径=a、=B与r=r()围成的图形的面积S。 在[a,B中取一系列的分点,满 足 a=60<61<62<…bn=B 6=6 记A0=0-0,在每个,日]上任取 () 点5,用半径为r(2)、圆心角为A0 6=6;-1 的小扇形的面积r2()AB近似代替相 应的小曲边扇形的面积(图7.4.8), 那么 S≈∑r2(51)410, 图7.4.8
下面来求极坐标下的面积公式。 设曲线的极坐标方程r = r( ) 是区间[, ]上的连续函数( − 2π )， 求由两条极径 = 、 = 与r = r( ) 围成的图形的面积S 。 在 [ , ] 中取一系列的分点 i ，满 足 = 0 1 2 n = 记 i = i − i−1 ，在每个 1 [ , ] i i − 上任取 一点 i ，用半径为 ( ) i r 、圆心角为 i 的小扇形的面积 i i r ( ) 2 2 1 近似代替相 应的小曲边扇形的面积(图 7.4.8)， 那么 = n i i i S r 1 2 ( ) 2 1
因为r=r(0)在[a,B中连续,所以r2(θ)在[a,月上可积。令小扇形的圆 心角的最大值=max(40,)→0,即有 S=m2(19=5Jr(O)d0 这就是极坐标下的面积公式 6=6 () 6=6;-1 图7.4.8
因为 r = r( ) 在 [, ] 中连续，所以 ( ) 2 2 1 r 在 [, ] 上可积。令小扇形的圆 心角的最大值 max ( ) 0 1 = → i i n ，即有 = = = → n i i i S r 1 2 0 lim ( ) 2 1 1 2 ( )d 2 r ， 这就是极坐标下的面积公式
例7.4.5求双曲螺线r=a当从 4 变到2π+时极径r扫过的面积(图7.4.9) 图7.4.9
例 7.4.5 求双曲螺线 r a = 当 从 4 变到2 4 + 时极径 r 扫过的面积(图 7.4.9)
例7.4.5求双曲螺线r=a当从 4 变到2π+时极径r扫过的面积(图7.4.9) 解直接用极坐标下的求面积公式, 4 16a S de 图7.4.9
解 直接用极坐标下的求面积公式， 2 9π 4 2 π 4 1 d 2 a S = 9π 4 2 π 4 1 2 a = − 2 16 9π a = 。 例 7.4.5 求双曲螺线 r a = 当 从 4 变到2 4 + 时极径 r 扫过的面积(图 7.4.9)