三、函数展开成傅里叶级数1.傅里叶系数（Fouriercoefficientdo若有 f(x)=+ E(ak cos kx + b sin kx)2k=l利用三角函数系的正交性(1)求ao· 两边积分8a"E(a, cos kx + b, sin kx)dxdx+["f(x)dx=元 2k=18元元doZsin kxdxcos kxdx + bdx +ak2T2k=10do f(x)dx.2元a2TA
16 1.傅里叶系数 (Fourier coefficient) = + + =1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k ak kx bk kx a 若有 f x (1) . 求a0 2 2 0 = a − = x a d 2 0 两边积分 利用三角函数系的正交性 ( ) = − − + + 1 cos d sin d k ak kx x bk kx x = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k ak kx bk kx a f x 三、函数展开成傅里叶级数
(2)求an:ca.coskbsink两边利用三角函数系的正交性积分7元aoN_ f(x)cos nxdxcos nxdx2一元=08发元Z[ak]cos kx cos nxdx + b,sin kx cos nxdx?元k=1k=n0=元2nxdx= anπcosan元f(x)cosnxdx(n =1,2,3,.)an元A
17 (2) . 求an − f (x)cosnxdx [ cos cos d sin cos d ] 1 − − = + + a kx nx x bk kx nx x k k = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k ak kx bk kx a f x − = an cos nxdx 2 = an (n = 1,2,3, ) 两边同乘cosnx,再 从−到逐项积分 − = nx x a cos d 2 0 利用三角函数系的正交性
ca.cosk+bsink(3)求bn:X两边同利用三角函数系的正交性积分元aosin nxdxf(x)sinnxdx2一元=08元元Zcos kx sin nxdx + bsin kx sin nxdx[ak十元元k=1=0k=n=b,元n=b, ==[" f(x)sinnxdx(n =1,2,3,..)A
18 (3) . 求bn (n = 1,2,3, ) − f (x)sin nxdx [ cos sin d sin sin d ] 1 − − = + + a kx nx x bk kx nx x k k = bn = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k ak kx bk kx a f x 两边同乘sinnx,再 从−到逐项积分 − = nx x a sin d 2 0 利用三角函数系的正交性
设f(x)是以2元为周期的函数,且在[一元,元或[0,2元]上可积,则12元[" f(x)cosnxdx =f(x)cosnxdx元0元(n = 0,1,2,...)12元f(x)sin nxdx =f (x)sin nxdx元元0(n = 1,2,..)希自己证明
19 设f (x)是以2为周期的函数,且在[− , ]或 则 (n = 0,1,2, ) (n = 1,2, ) 上可积, 希自己证明
练习设f()=x+x2,(-元<x<元)的傅里叶级数8展开式为"+E(a, cos nx + b, sin nx)则2n=12-3系数b,=(元=["f(x)sin nxdx=二解由傅里叶系数公式b，刀(弧x +x)sin3xdxn=3,b, ==元元x sin 3xdx元xsin3xdx +NN偶元奇2=02xsin 3xdx =元37
20 设f (x) = x + x 2 ,(− x )的傅里叶级数 展开式为 ( cos sin )则 2 1 0 a nx b nx a n n n = + + ( ). 系数b3 = 解 由傅里叶系数公式 x xdx = sin 3 偶 奇