例1讨论等比级数(几何级数) ao ∑ag"=a+m+am2+…aqn+…(a≠0) 的收敛性 解 n=a+mg+ag+…+ag q q q
例 1 讨论等比级数(几何级数) = + + ++ + = n n n aq a aq aq aq 2 0 (a 0) 的收敛性. 解 如果q 1时 2 −1 = + + + + n sn a aq aq aq q a aqn − − = 1 , 1 1 q aq q a n − − − =
当当 <l时,:Iimq"=0∴lims n1→0 n1-4 收敛 >1 时 img=o0∴. lim s=∞ 1→00 散 1→0 如果q=1时 当q=1时,s na→00 散 当q=-1时,级数变为 a-a+a-a+ ∴lims不存在 发散 n→)0 时,收 综上 等比级数是一个常 用的级数
当q 1时, lim = 0 → n n q q a sn n − = → 1 lim 当q 1时, = → n n limq = → n n lim s 收敛 发散 如果q = 1时 当q = 1时, 当q = −1时, sn = na → 发散 级数变为a − a + a − a + n不存在 n s → lim 发散 综上 = 当 时 发散 当 时 收敛 1 , 1 , 0 q q aq n n 等比级数是一个常 用的级数
例2判别无穷级数 +…的收敛性 1.33·5 (2n-1)·(2n+1) 解 L (2n-1)(2n+1)22n-12n+1 1 1.33.5 (2n-1)·(2n+1) 11 23235 22n-12n+1
例 2 判别无穷级数 + − + + + + (2 1) (2 1) 1 3 5 1 1 3 1 n n 的收敛性. 解 (2 1)(2 1) 1 − + = n n un ), 2 1 1 2 1 1 ( 2 1 + − − = n n (2 1) (2 1) 1 3 5 1 1 3 1 − + + + + = n n sn ) 2 1 1 2 1 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 (1 2 1 + − − = − + − + + n n
22n+1 ..lims,=lim(1 n→00 n->∞2 2n+12 级数收敛,和为 在用级数收敛的定义来判定级数的敛散性时, “拆项”是常用的方法之一
) 2 1 1 (1 2 1 lim lim + = − → → n s n n n ), 2 1 1 (1 2 1 + = − n , 2 1 = . 2 1 级数收敛, 和为 在用级数收敛的定义来判定级数的敛散性时， “拆项”是常用的方法之一
基本性质 性质1如果级数∑un收敛则∑kn,亦收敛 n=1 结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变 性质2设两收敛级数s=∑un=∑ n: =1 则级数∑(n±vn)收敛其和为s± n=1 结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减
三、基本性质 性质 1 如果级数 n=1 un 收敛,则 n=1 kun 亦收敛. 性质 2 设两收敛级数 = = n 1 un s , = = n 1 n v , 则级数 = 1 ( ) n n n u v 收敛,其和为s . 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减