例2.求微分方程y”=y+x的通解。 解令-p,则= dx 代入原方程 dp dx =p+x dp 二p 1 对应齐次方程 dp=dx Inp=x+Inc dx 齐次方程通解p=ce', 令非齐次方程通解p=c(x)e 代入方程 ( (x)e*=x, 即c(x)=xe 两边积分 c(x)=Jxe"dx+c=-[xde*+c =-(xe*-e"dx)+c=-(xe *+e*)+c
8 例 2．求微分方程y y x = + 的通解。 解 令y p = ，则 dp y dx = 代入原方程 dp p x dx = + 对应齐次方程 dp p dx = 1 dp dx p = 1 ln ln p x c = + 齐次方程通解 1 x p c e = , 令非齐次方程通解 1 ( ) x p c x e = 代入方程 1 ( ) x c x e x = , 即 1 ( ) x c x xe − = 两边积分 1 1 ( ) x c x xe dx c − = + 1 x xde c − = − + 1 ( ) x x xe e dx c − − = − − + 1 ( ) x x xe e c − − = − + +
非齐次方程通解p=-x-1+ce 即 =-x-1+ce dy dx 两边积分 =ce- 2-x+C2。 三.y”=f(y,y)型微分方程 解法 令y=p,y=p=业血=p虫 dx dy dx dy 代入原方程 =f0y,p)(y为自变量) p dy 解此一阶方程 p=p(y,c) 即 =py,c） dx
9 非齐次方程通解 1 1 x p x c e = − − + 即 1 1 dy x x c e dx = − − + 两边积分 2 1 2 1 2 x y c e x x c = − − + 。 三．y f y y = ( , )型微分方程 解法 令y p = , dp dp dy dp y p p dx dy dx dy = = = = 代入原方程 ( , ) dp p f y p dy = （y为自变量） 解此一阶方程 1 p p y c = ( , ) 即 1 ( , ) dy p y c dx =
1 故 dy dx p(y,c) 两边积分，通解 dy =x+C2 例1.求微分方程y= 的通解。 y 解 令y=p dp y=P dy 代入原方程 d迎 dy 1 1 若p≠0 dp= dy p y 两边积分lnp=lny+lnc, 即 p-cy 0
10 故 1 1 ( , ) dy dx p y c = 两边积分，通解 2 1 1 ( , ) dy x c p y c = + 例 1．求微分方程 2 y y y = 的通解。 解 令y p = dp y p dy = 代入原方程 2 dp p p dy y = 若 p 0 1 1 dp dy p y = 两边积分 1 ln ln ln p y c = + , 即 p c y = 1
所以少=cy,分离变量 dy =cdx d y 两边积分 lny=Cx+lnc2,故y=c2e 若p=0,得y=c 综上，此方程的通解为y=c2e。 y"=2yy 例2.求微分方程儿。=1 的特解 y1o=2 解令y=p, 则 dp y= 代入原方程 dp=2yp p dy 11
11 所以 1 dy c y dx = , 分离变量 1 dy c dx y = 两边积分 1 2 ln ln y c x c = + ，故 1 2 c x y c e = 若 p = 0，得y c = 综上，此方程的通解为 1 2 c x y c e = 。 例 2．求微分方程 0 0 2 1 2 x x y y y y y = = = = = 的特解 解 令y p = ， 则 dp y p dy = 代入原方程 2 dp p yp dy =