一、矩估计法 分布中含k个未知参数日，02，.，0. 设X为连续型，其密度f(x;日，日2，.，日)，或X为离散型，分布律 P{X=x}=p(x;01,02,0)2X1,X2,Xn来自X. 假设总体X的前k阶矩存在，且均为日，02，0的函数，即 总体1阶 (原点)矩 4=5K-:0久8，应连续型 ∑x'px0,8.,8) (X离散型) 代替 XERY 其中Rx是x可能取值的范围，l=1,2,.,k 样本1阶（原点）矩 4=1∑X,1=1,2,k 解出日，02，.，日，即为矩估计量（或矩估计值）0，0
一、 矩估计法 假设总体X k 的前 阶矩存在, 1 2 , , , , 且均为 k 的函数 即 1 2 ( ; , , , ) l k x f x dx + − 1 2 ( ; , , , ) X l k x R x p x 1 2 1 2 1 2 , ( ; , , , ) { } ( ; , , , ) , , , . k k n X f x X P X x p x X X X X = = 设 为连续型 其密度 ，或 为离散型，分布律 ， 来自 (X连续型) (X离散型) 样本 l 阶(原点)矩 1 1 , 1, 2, , . n l l i i A X l k n = = = 总体 l 阶 (原点)矩 ( )l l E X = = 1 2 , , , . k 分布中含k个未知参数 代替 , 1,2, , 其中R x l k X是 可能取值的范围 = ( ) 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ , , , , , , . k k 解出 ，即为矩估计量 或矩估计值
矩估计法：用样本矩作为相应总体矩的估计量，用样本矩的连续函 数作为相应总体矩的连续函数的估计量（包括原点矩和中心矩） (矩估计法的理论根据) 定理如果总体X的k阶矩E(X)=44存在，则当n→o时， A=2xP4,k=12, 若g是连续函数，则g(A1,A2,.,A)P→g(41,凸，44)
矩估计法：用样本矩作为相应总体矩的估计量，用样本矩的连续函 数作为相应总体矩的连续函数的估计量(包括原点矩和中心矩) (矩估计法的理论根据) 定理 如果总体 的 阶矩 存在，则当 时， 1 ( ) 1 , 1, 2, k k n k P k i k i X k E X n A X k n = = → = ⎯⎯→ = 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) P k k 若g是连续函数，则 g A A A g ⎯⎯→
矩估计法的具体做法 样本矩A,≈总体矩出（亿=1,2，.，k) 4=E(X)=41(0,02,0) 81=8(4,4,.,4k） 令 4=E(X)=4(8,日2，0)这蝇共中的包含个果蜘参数，4) 09经8的方程组 4=E(X*)=44(0,02,0) 8=8(4,.,4k) 将凸，凸，.，4分别用A1,A,.,A代替，可得日，.，0的矩估计量： 0=日(A1,A2,.,A) 02=日2(41,42，.，4) 0=0(4,A,.,A) 0,=0,(A,A2,.,A)分别作为0，i=1,2,.,k的估计量， 称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值
矩估计法的具体做法 1 2 , , , 这是一个包含 个未知参数 k的方程组 k 1 2 , , , k ⎯⎯⎯⎯→ 解出其中的 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) k k k k k = = = 1 2 ˆ ( , , , ) , 1,2, , i i k i = = A A A i k 分别作为 的估计量， 称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值. 样本矩 = 总体矩 ( 1, 2, , ) A l k l l 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( , ,., ) ( ) ( , ,., ) ( ) ( , ,., ) k k k k k k E X E X E X = = = = = = 令 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ˆ ( , , , ) ˆ ( , , , ) ˆ ( , , , ) k k k k k A A A A A A A A A = = = 1 2 1 2 1 , , , , , , , , 将 k k k 分别用A A A 代替，可得 的矩估计量：
例2.设总体X在[，b]上服从均匀分布，其中4，b未知， X1,X2,Xn)是来自总体X的样本. (I)求，b的估计量； (2)现取得10个样本值如下，求，b的矩估计值. 3.38015.39855.27552.81312.5950 4.49186.79873.70194.92633.1191 解(1) ∫4=E(X)=+b 1 E(X)=(X))( 12 a=4-3(h-) → b=4+V3(h2-) 将山，分别用A1,A代替，可得，b的矩估计量：
1 2 2 [ , ] , , ( , , , ) . n X a b a b X X X X 设总体 在 上服从均匀分布 其中 ， 未知 是来自总体 例 的样本. 解 (1) 1 = E X( ) , 2 a b + = 2 2 = E X( ) 2 2 ( ) ( ) , 12 4 a b a b − + = + 2 = + D X E X ( ) [ ( )] 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 a b = − − = + − （ ） ， （ ） 1 2 1 2 将 ， 分别用A A a b , , 代替，可得 的矩估计量： (1)求a b ， 的估计量; 3.3801 5.3985 5.2755 2.8131 2.5950 4.4918 6.7987 3.7019 4.9263 3.1191 (2) 10 现取得 个样本值如下, 求a，b的矩估计值