注意到 Rn(x)=o[(x-xo)”] ③ 在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为 f)-f)+f()-x)+(x-x+. 2 +(2x-》”+x-x0)1 n! 公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺Peano)余项 *可以证明 f(x)在点o有直到n阶的导数 ④式成立
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 ) + f ( x0 )(x − x0 ) 0 ( 0 ) 2 + 2 ! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立
f(x)=f(xo)+f(xox-x)+(xx+. 21 n (n+1) 特例： (5在x与x之间) (1)当n=0时，泰勒公式变为 拉格朗日中值定理 f(x)=f(xo)+f'()(x-xo) (5在x,与x之间)》 (2)当n=1时，泰勒公式变为 )=f+fx-x+(x-,月 2! 可见f(x)≈f(x,)+'(xo)x-xo) (5在x与x之间) 误差 R=2(x-尸（传在xn与x之间 df 21
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 + f x − x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 拉格朗日中值定理 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 ( ) 2 ! ( ) x x f − + 可见 误差f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − d f ) 0 ( 在 x 与 x 之 间) 0 ( 在 x 与 x 之 间 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间