第五章定积分 高等数学少学时 二、平面图形的面积 :y=f(x) 1、直角坐标情形 由曲线y=f(x)(20)与直线 x=M,x=b(a<b)及x轴所围曲 边梯形的面积为 xx+dx :b x S=f(x)dx 由曲线y=f(x),y=g(x),f(x)≥g(x)与直线 x=a,x=b(a<b)所围图形的面积S如何求？ 在[a,b]上任取小区间[x,x+d],则 ds=[f(x)-g(x)dx .s=∫[f(x)-g(x)] 北京邮电大学出版社
7 二、平面图形的面积 ( )d b a S f x x = 由曲线 与直线 及x轴所围曲 边梯形的面积为 x x x + d x y o y f x = ( ) y g x = ( ) a b ( ) ( ) d b a = − S f x g x x d d S f x g x x = − ( ) ( ) 由曲线 所围图形的面积 S 如何求? 与直线 在 a,b 上任取小区间 x x x , d , + 则 1、直角坐标情形
第五章 定积分 高等数学少学时 类似地， y 由曲线=p(y),x=W(y),p(y)≥W(y) d 与直线y=c,y=d(c<d)所围图形的 x=vy)x=o(y) 面积为 y+dy 名 s=∫[p(y)-w(y)] 0 X 解题的一般步骤： 1、确定积分变量；2、确定积分区间； 3、写出积分元素；4、积分得结果， 北京邮电大学出版社 8
8 ( ) ( ) d d c = − S y y y 类似地， 与直线 由曲线 面积为 所围图形的 x y = ( ) x y = ( ) c d x y y y y + d O 解题的一般步骤： 1、确定积分变量；2、确定积分区间； 3、写出积分元素； 4、积分得结果
第五章 定积分 高等数学少学时 例1计算由y=x2-2,y=2x+1所围成的图形的面积. 解解方程组 y=x2-2 得两曲线的交点为(-1，-1)和(3,7)， y=2x+1 取x为积分变量，积分区间为-1,3]， 在[-1,3]上任取小区间[x,x+dx], 因为在-1,3]上，x2-2<2x+1,故面积元素为 ds=[(2x+1)-(x2-2)]d 故所求面积为S=[(2x+1)-(x2-2)]dx -3-03 北京邮电大学出版社
9 例 1 计算由 2 y x y x = − = + 2, 2 1 所围成的图形的面积. 取x为积分变量，积分区间为 −1,3 , ( ) 2 d 2 1 ( 2) d S x x x = + − − 解 得两曲线的交点为 (− − 1, 1) 和 (3,7 , ) 2 2 2 1 y x y x = − = + 解方程组 3 2 3 1 1 2 3 10 3 3 x x x − = − + = ( ) 3 2 1 S x x x 2 1 ( 2) d − = + − − 故所求面积为 在 −1,3 上任取小区间 x x x , d + ， 因为在[-1,3]上, x x 2 − + 2 2 1 ,故面积元素为
第五章 定积分 高等数学少学时 例2计算抛物线y2=x与直线y=x一2所围成的图形的面积. 解解方程组 y2=x 得两曲线的交点为 (（1,-1)和(4,2)， y=x-2 取y为积分变量，积分区间为-1,2]， (4,2) ds=[(2+y-2]d S=∫[(2+y)-y2]d (4,2) 2引 9 y+dy y ds 3 2 X 北京邮电大学出版社 10
10 解 2 d (2 ) d S y y y = + − 2 2 1 2 2 3 1 (2 ) d 9 2 2 3 2 S y y y y y y − − = + − = + − = (4,2) (1, 1) − x y O dS (4,2) (1, 1) − x y O dS y y y + d 例2 计算抛物线 2 y x = 与直线 y x = − 2 所围成的图形的面积. 得两曲线的交点为 (1, 1− ) 和 (4,2 , ) 2 2 y x y x = = − 解方程组 取y为积分变量，积分区间为 −1,2 ,