4特征值与特征向量 特征值和特征向量的概念 定义1设ACCm,如果存在∈C和非零向 量x∈C",使 Ax=x,则λ叫做A的特征值, x叫做的属于特征值λ的特征向量
返回 4 特征值与特征向量 设 如果存在 和非零向 量 使 n n n A C , C x C , 定义 1 Ax x, A x A = 则 叫做 的特征值， 叫做 的属于特征值 的特征向量. 一、特征值和特征向量的概念
A所有特征值的全体,叫做的谱 记为A(A 1E-A=(元-)"…(元-,)叫做特征多项式 ∑n=n,其中,n叫做代数重数 如果rmnk(A2E-A=n-m2, m,叫做的x几何重数
返回 A A 的所有特征值的全体，叫做 的谱 记为( A ) . 1 1 r n n r | E A | ( ) ( ) − = − − = = 1 r i i i n n , , n 其中 叫做代数重数 如果 ） i i rank( E A n m , − = −叫做特征多项式 mi i 叫做的 几何重数
定理1设4CC有r个不同的特征值1,2 ,,其代数重数分别为,n2…,,则必 存在可逆矩阵P∈C",使得 PAP=J=lig(J1(41)…,(4 矩阵J叫做A的Jrlm标准形
返回 定理 1 设 有 个不同的特征值 1 2 n n A C r , 重数分别为 则必 n , n , ,n , 1 2 r 1 P AP J diag( J ( ), ,J ( )) 1 1 r r − = = 矩阵 叫做 的 标准形。 J A Jordan , , , r 其代数 存在可逆矩阵 使得 n n P C ,
定义2设AcC,如果存在可逆矩阵 P∈C"",使得 PAP=dlig(A,2…,λ 则矩阵A叫做可对角化矩阵
返回 定义 2 设 n n A C , 如果存在可逆矩阵 1 P AP diag( , , , ) 1 2 r − = 则矩阵 叫做 A 可对角化矩阵. P C , n n 使得
定理2设AcC"",则下列命题等价: (1)A是可对角化矩阵; (2)Cn存在由4的特征值向量构成的一组基底。 (3)A的 Jordan标准形中的 Jordan块都是一阶的。 特征值和特征向量的几何性质 定义1设T是线性空间VC的一个线性变换,如果存在 λ∈C和非零向量ξ∈VC),使得T=,则叫做T的特 征值,ξ叫做T的属于特征值的特征向量
返回 定理 2 设 n n A C , 则下列命题等价： (1) A ; 是可对角化矩阵 (2) C A n 存在由 的特征值向量构成的一组基底。 (3) A 的Jordan标准形中的Jordan块都是一阶的。 (4) 1 2 m n ( i , , ,r ) i i = = 二、特征值和特征向量的几何性质 设 是线性空间 的一个线性变换，如果存在 T V (C ) n 则 叫做 的特 T 特征向量。 ' 定义 1 = C V (C ), T , 和非零向量 使得 n 征值， 叫做 的属于特征值 的 T