《矩阵理论—知识点详解》第六章 广义逆矩阵（6.3）自反广义逆矩阵

3自反广义逆矩阵 定义1设A∈Cm,如果有G∈CMm,使得 AGA=A GAG=G 同时成立则称G为4的自反广义逆矩阵 例1设A=(a1,a2,…,axn)∈Cm,且 0j≠i 则A为的自反广义逆矩阵

返回 3 自反广义逆矩阵 定义1 同时成立,则称G为A的自反广义逆矩阵. 设 AC mn ,如果有GC nm ,使 得 AGA= A, GAG = G 例 1 1 2 ( , , , ) m r A C   r  设 ，且 =  H ( , 1,2, , ) i j r =  i j = 1 0 j i j i =  . H 则 为 的自反广义逆矩阵 A A

例2A=dig(1,a2,…,an) 则G=dig(a1,a2,…,an)是的自反广义逆, 2×0 其中1001=0 定理1任何矩阵都有自反广妫矩阵 证(1)A=0,则41=0一结论成立

返回 定理1 任何矩阵都有自反广义逆矩阵. 证 (1) 0 0 1 = = − A ，则Ar 结论成立 1 2 ( , , , ) G diag a a a A n − − − 则 是 的自反广义逆, = 1 2 ( , , , ) 例 2 A diag a a a = n 1 0 0 0 i i i i a a a a − −     =  其中 =

(2)A≠0→rk(4)=r>0→ 00 E X G=o Y X

返回 rank(A) = r  0 Q E A P r       = 0 0 0 (2) A  0 −1 −1       = P Y YX E X G Q r

定义2A{1,2}={4的所有自反广义逆矩哟集合 定理2设X,Y∈Cmm均为A∈Cm的广义逆 矩阵则 ZE XAY 是4的自反广义逆矩阵 证:X,Y均为4的广义逆矩阵→AXA=A AYA=A) AZA=AXAYA=AYA=A ZAZ= XAYAXAY= XAXAY= XAY=Z

返回 定义2 A{1,2} = {A的所有自反广义逆矩阵的集合}. 定理2 设X,Y C nm 均 为AC mn 的广义逆 是A的自反广义逆矩阵. 矩阵,则 Z = XAY 证: X,Y均为A的广义逆矩阵 AXA = A AYA= A AZA= AXAYA= AYA= A ZAZ= XAYAXAY = XAXAY= XAY= Z

定理3A∈Cm,A是4的广义逆矩阵则4是 A的自反广义逆矩阵的要条件是 rank (a)=rank(a) 证:必要性:A是的自反广义逆矩阵一 AA A=A AAA=A rank(A)=rank(AA A)s rank(a) =rnk(AAA)≤rnk(4)→ rank(a)=rank(A)

返回 证:必要性：A − 是A的自反广义逆矩阵 − − − − AA A = A A AA = A rank(A) rank(AA A) − = ( ) −  rank A 定理3 A的自反广义逆矩阵的充要条件是 ( ) ( ) − rank A = rank A AC mn , A − 是A的广义逆矩阵,则A − 是 ( ) − − = rank A AA  rank(A) ( ) ( ) − rank A = rank A