6初等矩阵 初等矩阵的一般形式 定义1设u,v∈C",a∈C,则称 E(n,v,a)=E-uv为初等矩阵 1.初等矩阵的特征向量(u,ν≠0,≠0) (1)a∈v,设1…,un1是的一组基,它们也是E(u,v,)的 n-1个线性无关的特征向量 (2)gv,设u1…,un-1是p的一组基,则a,1…,un-1 是E(u,v,a)n个线性无关的特征向量 返回
返回 6 初等矩阵 ( )= n H u ,v C , C , E u ,v , E uv . 设 则称 为初等矩阵 定义 1 1.初等矩阵的特征向量(u,v 0, 0). 一、初等矩阵的一般形式 u 1 n 1 1 n 1 v , u , ,u v , u ,u , ,u E( u ,v , ) n (2) 设 是 的一组基 则 是 的 个线性无关的特征向量. 1 1 1 u n v , u , ,u v , E( u,v , ) n (1) 设 是 的一组基 它们也是 的 个线性无关的特征向量
初等矩阵的特征值 孔(E(u,v,o)={1,1,…,1,1-ou 3. det (e(u,v,o))=1-ov"u 4E4)=B(,-,)(1-olu=0 5.非零向量a,b∈C",存在u,v,a,使得 a=b E(u,v,o)a=b, ou H 返回
返回 3 ( ( ))=1 H .det E u ,v , v u 1 1 1 1 H E u,v , , ,, , v u 2.初等矩阵的特征值 ( ( ))={ } n H a ,b C u ,v , , a b E( u ,v , )a b ,( u ) v a 5.非零向量 ,存在 使得 . 1 (1 0) 1 H E H (u,v, ) E(u,v, ), v u v u 4
3.初等变换矩阵 E=E-(e1-e;)(e1-e;)=E(e1-e E (k)=E+ke e =E(e;,e;, -k) E(k)=E-(1-k)e,e=E(e,e1,1-k) 返回
返回 1 T Eij E i j i j i j i j ( e e )( e e ) E( e e ,e e , ) 3.初等变换矩阵 T Eij j i j i ( k ) E ke e E( e ,e ,k ) 1 1 T Ei i i i i ( k ) E ( k )e e E( e ,e , k )
4.初等酉阵( Householder变换) H(u)=E(u,u;2)=E-2un,(u"=1) (1)H(u)=H(u)=H(u)1 (2)H(u)(a+ru)=a-ru,va∈u,r∈C(镜象变换) 返回
返回 2 2 1 H H H ( u ) E( u,u; ) E uu ,( u u ) 4.初等酉阵(Householder变换) 1 (1) H H( u ) H( u ) H( u ) (2) H ( u )( a ru ) a ru , a u ,r C ( ) 镜 象 变 换
7、欧氏空间上的度量 定义1在线性空间Vn(P)上,若映射(x,y) Vn(P)×Vn(P)>P (1)(x,x)≥0;(x,x)=0当且仅当x=0, (2)(,y)=(,x),Vx, yEN(P) (3)(x,y)=(x,y),∈P,Vx,y∈Vn(P), (4)(x+y,x)=(x,3)+(y,),Vx,y,z∈Vn(P) 则称(x,y)是Vn(P)上的内积 返回
返回 定义1 V ( P ) ( x , y ) 在线性空间 n 上，若映射 Vn (P) Vn (P) P (1) (x, x) 0 ; (x, x) 0当且仅当 x 0 , (2) (x, y) ( y, x) , x, y V (P) , n (3) ( x, y) ( x, y) , P, x, y V (P) , n (4) (x y,z) (x,z) ( y,z) , x, y,z V (P) n 则称( x, y)是Vn (P)上的 内积. 7、欧氏空间上的度量