第二章 向量与矩阵的范数
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1向量的范数 定义1设映射C→R满足: (1)正定性0,当且仅当x=0时,=0; (2)齐次性xx∈r,x∈Cn; (3)三角不等式x+y+y,x,y∈Cn. 则称映射为n上向量x的范数. 向量范数的性质: (1)0=0 (2)x≠0时,x=1 返回
返回 1 向量的范数 (1)|| 0||= 0； 向量范数的性质： 定义1 则称映射|| || 为C 上向量x的范数. n (1)正定性 || x || 0,当且仅当x = 0时，|| x ||= 0; 设映射|| ||: C n → R满足： (2) || || | ||| ||, , ; n 齐次性 x = x R xC (3) || || || || || ||, , . n 三角不等式 x + y x + y x yC || 1; || || 1 (2) 0 || x = x x 时
(3)对任意x∈C",有‖-xl-x‖ (4)对任意x,y∈C",有|!x‖-‖yx-y‖ 证‖x‖=‖(x-y)+y|‖x-y+yll xl1-y|‖x-yl(1)—‖x-y|y-xl‖ 坐yll-l‖xl‖l-‖y伦-‖x-y(2) (1)(2)C川x-yllx-y 例1设x=(x1,x2,…,xn)∈C,则 (1)xl1=∑x; 1-范数
返回 证 || x || || ( x y ) y || || x y || | y | = − + − + | | (3) x C || x || || x ||; n 对任意 ，有 − = (4) x, y C ||| x || || y || | || x y || . n 对任意 ，有 − − || x || || y || || x y || − − (1) || x y || || y x | −=− | − || y || || x || || x || || y || − − − || x y || (2) (1),(2) ||| x || || y ||| || | − −x y | 例 1 1 2 ( ) n n 设 ，则 x x , x , , x C = 1 1 (1) n i i || x || | x | = = 1−范数
(2)x2=(x 2-范数 63)‖ll= max x; 无穷范数 X=x,x ),y=(,y2,…,yn) Ix"y=xiv,+x2y,+.+xny ≤(|x1P2+|x2P2 …十x (|y1}2+|y2|2 =‖xlyl x+y2=(x+y)"(x+y)
返回 1 (3) i i n || x || max | x | = 证 1 2 1 2 ( ) ( ) T T n n x x , x , , x y y , y , , y = = ， 2 2 1 2 1 2 H n n | x y | | x y x y x y | = + + + 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) n n | x | | x | | x | | y | | y | | y | + + + + + + 2 2 2 2 =|| x || || y || 2 2 ( ) ( ) H || x y || x y x y + = + + 2 1 2 2 1 (2) ( ) n / i i || x || | x | = = 2 −范数 无穷范数
H =r xfr yty y y <x x+x"yl+y x+ly y 圳lc+2|x2yl2+yl2 (|xlb+‖yl) x+yxl+‖yl2 引理1若u和是非负实数,p和q是正实数,且 满足条件p,q>1和+=1,则恒有不等式 ν≤-u+ q
返回 H H H H + + + | x x | | x y | | y x | | y y | 2 2 2 2 2 2 + + || x || || x || || y || || y || 2 2 2 2 = + ( ) || x || || y || 2 2 2 || x y || || x || | || + + | y 引理1 若 和 是非负实数， 和 是正实数，且 u v p q 1 1 p q, 1 1 p q 满足条件 和 ，则恒有不等式 + = 1 1 p q uv u v p q + H H H H = + + + x x x y y x y y