第二模块函数、极限、连续$2-8函数的连续性例1证明函数y=sinx在其定义域内连续。应用数学证 任取 xo E(- 00, + o)，则因 y = f (xo + Ax) - f (xo) = sin(xo + △x) - sinxoAr福-20(+).1sin2且sinx/≤x|,故有ArAr0 ≤ /Ay/ = 2cos xo +sin22≤ 2.1.14rl=|Ax 1.2因此limAy=0.这表明y=sinx在xo处连续AX0由于x的任意性可知它在定义域内连续
例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 . 证 任取 x0 (- , + )，则因 y = f (x0 + x) - f (x0 ) = sin(x0 + x) - sinx0 , 2 sin 2 2cos 0 x x x = + lim 0. 0 = → y x 因 此 这表明 y = sin x 在 x0 处连续， 由于 x0 的任意性可知它在定义域内连续 . 且|sin x | ≤ | x |, 故有 2 sin 2 0 | | 2cos 0 x x y x ≤ = + | | . 2 | | 2 1 x x = ≤
第模块函数、极限、连续62-8函数的连续性一应用数学,x±0,xsin例 2 试证f(x)=在x=0处x0,x=0,的连续性解因为lim f(x)- lim xsin - =0 = f(0),x→0-0x所以f(x)在x=0处连续
例 2 . 0 0, 0 , 0 1 sin ( ) 的连续性 在 处 ， ， 试 证 = = = x x x x x f x 解 因为 0 (0)， 1 lim ( ) lim sin 0 0 f x f x x x x = = = → → 所以 f (x) 在 x = 0 处连续
第二模块函数、极限、连续62-8函数的连续性2x+1,x≤ 0,在x=0处连续.应例3 试证明f(x)=cosx, x>0,用数学证因为lim f(x)= lim cosx =1,x-→0+X-07lim f (x) = lim (2x + 1) = 1.x-→0-→0且 f(O)=1，即f(x)在x=0 处左，右连续，所以它在x=0处连续
例 3 证 因为 lim ( ) lim cos 1， 0 0 = = → + → + f x x x x lim ( ) lim (2 1) 1. 0 0 = + = → − → − f x x x x 且 f (0) = 1，即 f (x) 在 x = 0 处左，右连续，所以它在 x = 0 处连续 . 0 . cos 0 2 1 0 ( ) 在 处连续 ， ， ， ， 试证明 = + = x x x x x f x ≤
第二模块函数、极限、连续$2-8函数的连续性应用数学二、连续函数的基本性质定理1若函数f(x)和g(x)均在x处连续则 f(x) + g (x) ， f (x) -g (x)，f (x) · g (x) 在该点f(x)亦均连续，又若g(xo)±0，则在xo处也连续g(x)
二、连续函数的基本性质 定理 1 若函数 f (x) 和 g (x) 均在 x0 处连续， 则 f (x) + g (x) ， f (x) - g (x)， f (x) ·g (x) 在该点 亦均连续，又若 g(x0 ) 0， ( ) ( ) g x f x 则 在 x0 处也连续
第二模块函数、极限、连续92-8函数的连续性证我们仅证明f(x)·g (x)的情形应用教学所以有因为f (x)，g (x)在 xo处连续，月lim g(x) = g(xo),lim f(x)= f(xo),x-→xox-→xo故由极限的运算法则可得lim [f(x) g(x)] - lim f(x) lim g(x)-x.x-→xo= f(x)·g(xo),因此f (x)·g (x)在xo处连续
故由极限的运算法则可得 lim ( ) ( ) 0 f x g x x x → lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x x→x x→x = = f (x0 ) g(x0 )， 因此 f (x) · g (x) 在 x0 处连续. 证 我们仅证明 f (x) · g (x) 的情形 . 因为 f (x) ，g (x) 在 x0 处连续， 所以有 lim ( ) ( 0 )， lim ( ) ( 0 )， 0 0 f x f x g x g x x x x x = = → →