定义. 设 f(x,y,z), (x,y,z)I W,若对 作任意分割Dvk(k =1,2,L ,n),任意取点 (xk,h,z k)I Dvk,下列"乘积和式”极限n记作lim a f(xk,h k,z k)Dvk0Q0 (x, y,z)dv1 0 k=1存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在口上的三重积分dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz性质：三重积分的性质与二重积分相似.例如中值定理。设f(x,y,z)在有界闭域? 上连续,V为 的体积, 则存在(x,h,z)I W,使得oQg(x,y,z)dv= f(x,h,z )V
定义. 设 存在, 称为体积元素, 若对 作任意分割 任意取点 : 则称此极限为函数 在 上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似.例如 下列“乘 中值定理. 在有界闭域 上连续, 则存在 使得 V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作
二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分先假设连续函数 f(x,y,z)3 0,并将它看作某物体的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算方法：方法1．投影法（先一后二")方法2．截面法（先二后一
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 先假设连续函数 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
方法1.投影法（“先一后二”）Z.闭区域W在xoyOz-(Xiy)面上的投影为闭区域DWISt : z=zi(x,y),zE(x,F))S, : z =zz(x,j),0y过点(x,y)ID作直线y= J2(x)从穿入，从穿出y=J,(x)先将x,看作定值，将f(x,y,z)只看作z的函数，则32(x,y)F(x, )= O(c,) f(x, ,z)dz(x.y
方法1. 投影法 (“先一后二” )
计算 F(x,v)在闭区间 D上的二重积分z2(x,y)0F(x, y)ds = 000(c) f(x,y,z)dzlds .D,afxfb,Q D: yi(x)f y yz(x),V2(x)32(x,y)f(x, y,z)dz.000x,y,z)dv= odxdyox(x.yW也称为先一后二，切条法（先z次y后x）注意这是平行于z轴且穿过闭区域W内部的直线与闭区域W的边界曲面S相交不多于两点情形：用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分
——也称为先一后二，切条法（ 先z次y后x ） 注意 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下 的三次积分