定理指出：在一致收敛的条件下，{f(x)}中关于独 立变量x与n的极限可以交换次序，即(1)式成立. 类似地，若f(x)在(a,b)上一致收敛，且imfn(x) 存在，则有lim limf(x)=limlim f.((x)； x->a+n-oo n-→o0xa 若f,(x)在(a,b)上一致收敛，且imf(x)存在，则有 lim limf (x)=lim limf (x). x-→bn-→0 1>00xb 前页
前页 后页 返回 定理指出: 在一致收敛的条件下, { ( )} n f x 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立. , ( ) ( , ) n 类似地 若 在 f x a b lim ( ) n x a f x 上一致收敛 , 且 存在, 则有 lim lim ( ) lim lim ( ); n n x a x a n n f x f x ( ) ( , ) lim ( ) , n n x b 若 f x a b f x 在 上一致收敛,且 存在 则有 lim lim ( ) lim lim ( ). n n x b x b n n f x f x
定理13.9（连续性）若函数列{f}在区间I上一致收 敛，且每一项都连续，则其极限函数f在I上也连续 证设x,为I上任一点.由于limf,(x)=fn(x),于 是由定理13.8知imf(x)也存在，且 lim f(x)=lim f (xo)=f(xo), x→X0 因此f(x)在x。上连续， 定理13.9可以逆过来用：若各项为连续函数的函数 列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列在区 间I上一定不一致收敛 前页
前页 后页 返回 定理13.9 (连续性) 若函数列 { }n f 在区间 I上一致收 敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 f 在 I 上也连续. 证 0 0 0 . lim ( ) ( ), n n x x 设 为 上任一点 由于 x I f x f x 于 是由定理 13.8 知 0 lim ( ) x x f x 也存在, 且 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ), n x x n f x f x f x 0 因此 在 上连续 f x x ( ) . 定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数 列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区 间 I 上一定不一致收敛
例如：函数列{x”}的各项在(-1,1上都是连续的，但 0,-1<x<1, 其极限函数)- 在x=1时不连 续，所以{x"}在(-1,1)上不一致收敛 前页 后页 返回
前页 后页 返回 { }n 例如: 函数列 x 的各项在 ( 1, 1] 上都是连续的, 但 其极限函数 0, 1 1, ( ) 1, 1 x f x x 在 x 1时不连 { }n 续, 所以 x 在 ( 1, 1] 上不一致收敛
定理13.10（可积性）若函数列{f}在[4，b]上一致收 敛，且每一项都连续，则 limdxm dv. (3) 证设f为函数列{fn}在[a,b上的极限函数.由定理 13.9知f在[a,b]上连续，从而fn(n=1,2,)与f在 [4,b]上都可积.于是3)变为 imdxf)dx. (3) 前页 后页 返回
前页 后页 返回 { }n 证 设 f 为函数列 f 在 [ , ] a b 上的极限函数. 由定理 [ , ] a b ( 1,2, ) n 13.9知 f 在 上连续, 从而 f n 与 f 在 [ , ] a b 上都可积. 于是(3)变为 lim ( ) d ( ) d . (3 ) b b n n a a f x x f x x { }n 定理13.10 (可积性) 若函数列 f 在 [ , ] a b 上一致收 敛, 且每一项都连续, 则 lim ( ) d lim ( ) d . (3) b b n n n n a a f x x f x x