2005年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题2x（1）极限limxsin-x2 +1【答】22x2x【详解】limxsin=limx= 2.x2 +1x2 +1X0x→0(2)微分方程xy'+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为【答】xy=2【详解】原方程可化为（xy）=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2（3）设二元函数z=xe*+y+(x+1)ln(1+y)，则dz1.0【答】2edx+(e+2)dyOz= e+y + xe+y + In(1+ y),【详解】ax%= xey+!ay1+y于是dz= 2edx + (e + 2)dy(1.0)（4）设行向量组(2,1,1,)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，（4,3,2,1)线性相关，且a±1，则a=1【答】-2【详解】由题设，有1212C=(a-1)(2a-1)= 0,32341得a=1,a=但题设a±1，故a：221
1 2005 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、填空题 （1）极限 1 2 lim sin 2 →∞ x + x x x = . 【答】 2 【详解】 1 2 lim sin 2 →∞ x + x x x = 2. 1 2 lim 2 = →∞ x + x x x （2） 微分方程 xy′ + y = 0满足初始条件 y(1) = 2 的特解为 . 【答】 xy = 2 . 【详解】 原方程可化为 (xy)′ = 0，积分得 xy = C ， 代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2. （3）设二元函数 z xe (x 1)ln(1 y) x y = + + + + ，则 = (1,0) dz . 【答】 2edx + (e + 2)dy 【详解】 e xe ln(1 y) x z x y x y = + + + ∂ ∂ + + , y x xe y z x y + + = + ∂ ∂ + 1 1 , 于是 = (1,0) dz 2edx + (e + 2)dy . （4）设行向量组(2,1,1,1) ， (2,1, a,a) ，(3,2,1,a) ，(4,3,2,1) 线性相关，且 a ≠ 1，则 a= . 【答】 2 1 【详解】 由题设，有 = 4 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 1 1 a a a (a −1)(2a −1) = 0 , 得 2 1 a = 1,a = ，但题设 a ≠ 1，故 . 2 1 a =
（5）设αiα2,α,均为3维列向量，记矩阵A=(α,α,α),B=(α,+α+α,α+2α2+4α,α,+3α+9α),如果A=1，那么B=_【答】2【详解】由题设，有B=(α+α2+α3,α+2α2+4α3,α+3α2+9α)[1 11]=(αj,α2,α)123[1 4 9] 11于是有[B|=|4]-1 23=1x2=2149（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,2,,X中任取一个数，记为Y，则P(Y = 2) =13【答】48【详解】P(Y = 2)= P(X = 1)P(Y = 2X = I)+ P(X = 2)P(Y = 2X = 2)+P(X = 3)P(Y =2|X =3)+P(X = 4)P(Y = 2X = 4)1,1,1-131=×(0+234-484二、选择题（7）当a取下列哪个值时，函数f(x）=2x3-9x2+12x-α恰好有两个不同的零点(A) 2.(B)4.(C) 6.(D)8.【答】[B]f(x) = 6x2 -18x +12=6(x- 1)(x - 2),【详解】知可能极值点为x=1,x=2，且f(1)=5-a,f(2)=4-a,可见当a=4时，函数f(x）恰好有两个零点，故应选(B)2
2 （5）设 1 2 3 α ,α ,α 均为 3 维列向量，记矩阵 ( , , ) A = α1 α 2 α 3 ， ( , 2 4 , 3 9 ) B = α 1 +α 2 +α 3 α 1 + α 2 + α 3 α 1 + α 2 + α 3 ， 如果 A = 1，那么 B = . 【答】 2 【详解】 由题设，有 ( , 2 4 , 3 9 ) B = α 1 +α 2 +α 3 α 1 + α 2 + α 3 α 1 + α 2 + α 3 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 4 9 1 2 3 1 1 1 ( , , ) α1 α 2 α 3 ， 于是有 1 2 2. 1 4 9 1 2 3 1 1 1 B = A ⋅ = × = （6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从1,2,", X 中任取一个数，记为 Y, 则 P{Y = 2}= . 【答】 48 13 【详解】 P{Y = 2}= P{X = 1}P{Y = 2 X = 1}+ P{X = 2}P{Y = 2 X = 2} + P{X = 3}P{Y = 2 X = 3}+ P{X = 4}P{Y = 2 X = 4} = . 48 13 ) 4 1 3 1 2 1 (0 4 1 × + + + = 二、选择题 （7）当 a 取下列哪个值时，函数 f (x) = 2x − 9x +12x − a 3 2 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. 【答】 [ B ] 【详解】 ( ) 6 18 12 2 f ′ x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) ， 知可能极值点为 x=1,x=2，且 f (1) = 5 − a, f (2) = 4 − a ， 可见当 a=4 时，函数 f(x) 恰好有两个零点，故应选(B)
(8)设 I, =[[cos /x +ydo,1, = [[cos(x + y)do,I, = [[cos(x + )d其中 D=(x,)x2 +y2≤1),则(A) 1 >I2 >I.(B) I,>I, >I3 .(C) I, >I>Ig.(D) I,>I,>I2 【答】[A]【详解】在区域D=(x)x2+y≤1)上，有0≤x2+≤1从而有">1≥ /x?+y ≥x+y≥(x?+) ≥02由于cOsx在(0,)上为单调减函数，于是0≤cos /x? + y2 ≤cos(x2 + y2)≤ cos(x? +y2)[[cos /x? + y’ do< [[cos(x? + y?)do <因此[[cos(x? + y2)’dg ,-故应选(A).（9）下列结论中正确的是dxdxdxdx都收敛．（B）(A)都发散x(x+1)0 x(x+1)x(x +1)0 x(x+1)dxdxdxdx发散，一收敛。(D)一收敛，发散(C)0 x(x + 1)x(x+ 1)x(x+1) x(x+1)【答】[D]dxX【详解】ln2，积分收敛，Inx(x+1)/x+1dxx=0-（-0）=+0，积分发散T0 x(x + 1)x+1故应选(D)（10）设f(x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是3
3 （8）设 I x y dσ D ∫∫ = +2 2 1 cos , I x y dσ D ∫∫ = cos( + ) 2 2 2 , I x y dσ D ∫∫ = +2 2 2 3 cos( ) , 其中 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ≤ ，则 (A) 3 2 1 I > I > I . （B） 1 2 3 I > I > I . (C) 2 1 3 I > I > I . (D) 3 1 2 I > I > I . 【答】 [ A ] 【详解】 在区域 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ≤ 上，有0 1 2 2 ≤ x + y ≤ ， 从而有 2 2 1 2 > ≥ x + y π ≥ 2 2 x + ≥ y ( ) 0 2 2 2 x + y ≥ 由于 cosx 在 ) 2 (0, π 上为单调减函数，于是 2 2 0 ≤ cos x + y cos( ) 2 2 ≤ x + y ≤ 2 2 2 cos(x + y ) 因此 + < ∫∫ x y dσ D 2 2 cos + < ∫∫ x y dσ D cos( ) 2 2 x y dσ D ∫∫ +2 2 2 cos( ) ， 故应选(A). （9）下列结论中正确的是 (A) ∫ +∞ 1 x(x +1) dx 与 ∫ + 1 0 x(x 1) dx 都收敛. （B） ∫ +∞ 1 x(x +1) dx 与 ∫ + 1 0 x(x 1) dx 都发散. (C) ∫ +∞ 1 x(x +1) dx 发散， ∫ + 1 0 x(x 1) dx 收敛. (D) ∫ +∞ 1 x(x +1) dx 收敛， ∫ + 1 0 x(x 1) dx 发散. 【答】 [D] 【详解】 ∫ +∞ 1 x(x +1) dx = ln 2 1 ln 1 = + +∞ x x ，积分收敛， ∫ + 1 0 x(x 1) dx = = − −∞ = +∞ + 0 ( ) 1 ln 1 0 x x ，积分发散. 故应选(D). （10）设 f (x) = x sin x + cos x ,下列命题中正确的是
）是极小值）是极大值(A）f(O)是极大值，（B）f(O)是极小值，f1(22（）也是极小值(C)F()也是极大值f(0)是极大值，f(0)是极小值，(D)2【答】[B]【详解】f(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,显然F(O)=0,F()=0,又f"(x)=cosx-xsinx,且"(0)=1>0, "()=-<0,2)是极大值，应选(B)故f(0)是极小值，fe2（11）以下四个命题中，正确的是(A）若f'(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（B）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界(C）若f(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界(D）若f(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界【答】[C]11设f(x)=，则f(x)及f(x)=-均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1)【详解】ixx1内无界，排除(A)、(B)；又f(x)=/x在（0，1）内有界，但f(x)=在（0，1）内2/x无界，排除(D)故应选(C)（12）设A.B.C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB.C=A+CA，则B-C为(A)E.(B) -E.(C) A.(D) -A【答】[A]【详解】由B=E+AB,C=A+CA，知(E-A)B=E, C(E-A)=A,可见，E-A与B互为逆矩阵，于是有B(E-A)=E.从而有(B-C)(E-A)=E-A而E-A可逆，故B-C=E.应选(A)（13）设二维随机变量(X,Y）的概率分布为4
4 (A) f(0)是极大值， ) 2 ( πf 是极小值. （B） f(0)是极小值， ) 2 ( πf 是极大值. （C） f(0)是极大值， ) 2 ( πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值， ) 2 ( πf 也是极小值. 【答】 [ B ] 【详解】 f ′(x) = sin x + x cos x − sin x = x cos x， 显然 ) 0 2 ′(0) = 0, ′( = π f f ，又 f ′′(x) = cos x − x sin x ， 且 0 2 ) 2 ′′(0) = 1 > 0, ′′( = − < π π f f ， 故 f(0)是极小值， ) 2 ( πf 是极大值，应选(B). （11）以下四个命题中，正确的是 (A) 若 f ′(x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （B）若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （C）若 f ′(x) 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. (D) 若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f ′(x) 在（0，1）内有界. 【答】 [ C ] 【详解】 设 f(x)= x 1 , 则 f(x)及 2 1 ( ) x f ′ x = − 均在（0，1）内连续，但 f(x)在（0，1） 内无界，排除(A)、(B); 又 f (x) = x 在（0，1）内有界，但 x f x 2 1 ′( ) = 在（0，1）内 无界，排除(D). 故应选(C). （12）设 A,B,C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB,C=A+CA，则 B-C 为 (A) E. （B）-E. （C）A. (D) -A 【答】 [ A ] 【详解】 由 B=E+AB,C=A+CA，知 (E-A)B=E, C(E-A)=A, 可见，E-A 与 B 互为逆矩阵，于是有 B(E-A)=E. 从而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而 E-A 可逆，故 B-C=E. 应选(A). （13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
01X00.4 a1b0.1已知随机事件(X=O)与(X+Y=1)相互独立，则a=0.2, b=0.3(B)a=0.4, b=0.1(A)(C) a=0.3, b=0.2(D)a=0.1, b=0.4【答】[B]【详解】由题设，知a+b=0.5又事件X=O！与X+Y=1相互独立，于是有P(X=0,X +Y=1)=P(X=O)P(X+Y=I),即a=(0.4 +a)(a+b),由此可解得a=0.4,b=0.1，故应选(B)（14）设X.,X，.…X....为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为(>1)的指数分布，记Φx）为标准正态分布函数，则2x,-na--nalim P(-llim P(=(A)≤x)=Φ(x)(B)≤x) =Φ(x)aVnIna102x,-aMrXial≤ x) = 0(x)(D)lim P(≤(C) lim Pf-≤ x) = Φ(x).Vnn00Vnan→>00[答][C]11EX.,DX,【详解】由题设，：i=1,2,.,n,.,于是元nnDZX, =EEX,入1i=lXn>Xn元i根据中心极限定理，知其极限分布服从标准正态分VnnV布，故应选(C)5
5 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，则 (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 【答】 [ B] 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，于是有 P{X = 0, X + Y = 1} = P{X = 0}P{X + Y = 1}， 即 a= (0.4 + a)(a + b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B). （14） 设 X1 , X 2 ,", X n ,"为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λ(λ > 1)的 指数分布，记Φ(x) 为标准正态分布函数，则 (A) lim { } ( ) 1 x x n X n P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →∞ λ λ . (B) lim { } ( ) 1 x x n X n P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →∞ λ λ . (C) lim { } ( ). 1 x x n X n P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →∞ λ (D) lim { } ( ). 1 x x n X P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →∞ λ λ 【答】[ C ] 【详解】 由题设， 2 1 , 1 λ λ EXi = DXi = ，i = 1,2,",n,"，于是 λ n E X n i ∑ i = =1 ， 2 1 λ n D X n i ∑ i = = ， 根据中心极限定理，知 n X n n n X n i i n i ∑ i ∑ = = − = − 1 2 1 λ λ λ 其极限分布服从标准正态分 布，故应选(C)