江画工太猩院 CA(xkde= F(b)-F(a)=[F(x)o 微积分基本公式表明: 个连续函数在区间ab上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间a,b]上的增量 求定积分间题转化为求原函数的问题 注意当a>b时,f(x=F(b)-F(a仍成立
江西理工大学理学院 f (x)dx F(b) F(a) ba = − ∫ 微积分基本公式表明： [ ]ba = F(x) 一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量. 注意 当a > b时， f (x)dx F(b) F(a) ba = − ∫ 仍成立. 求定积分问题转化为求原函数的问题
江画工太猩院 例1求(2 cosx+sinx-1) 解原式=[im-x-x1=3- 2 2x0≤x<1 例2设f(x) 51<x? f(x)dr 2 解「f(x)k=f(x)d+,f(x)d 在1,2上规定当x=1时,f(x)=5, 原式=[2xdx+「5=6 12
江西理工大学理学院 例1 求 (2cos sin 1) . 2 ∫0π x + x − dx 原式 [ ]20 2sin cos π = x − x − x . 2 3 π = − 例2 设 , 求 . ⎩⎨⎧ < ≤ ≤ ≤ = 5 1 2 2 0 1 ( ) x x x f x ∫ 20 f (x)dx 解 解 ∫ ∫ ∫ = + 10 21 20 f (x)dx f (x)dx f (x)dx 在[1,2]上规定当x = 1时， f ( x) = 5, ∫ ∫ = + 10 21 原式 2xdx 5dx = 6. x y o 1 2
江画工太猩院 例3求,max{x,x3x 解由图形可知 f(x)=maxx, x") 2 2≤x≤02p12x x0≤xs1, x21<x≤2 原式=xx+xt+xh、11
江西理工大学理学院 例3 求 max{ , } . 22 2 ∫− x x dx 解 由图形可知 ( ) max{ , }2 f x = x x , 1 2 0 1 2 0 2 2 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ = x x x x x x ∫ ∫ ∫ ∴ = + + − 21 2 10 02 2 原式 x dx xdx x dx . 211 = x y o 2 y = x y = x − 2 1 2
江画工太猩院 例4求 解当x<0时,的一个原函数是n|x ax=ln x=In1-In2=-In 2 例5计算曲线y=sinx在0,m上与x轴所围 成的平面图形的面积 解面积A= sindi =-cosxJo =
江西理工大学理学院 例4 求 解 . 1 1 2 dx x ∫ − − 当 x < 0时， x 1 的一个原函数是ln | x |, dx x ∫ − − 1 2 1 [ ] 1 2 ln | | − = − x = ln 1 − ln 2 = −ln 2 . 例 5 计算曲线 y = sin x 在 [ 0 , π ]上与 x轴所围 成的平面图形的面积 . 解 面积 x y o π ∫ π = 0 A sin xdx [ ] π = − 0 cos x = 2
江画工太猩院 、积分上限函数及其导数 设函数∫(x)在区间[a,b上连续,并且设x为 ,b上的一点,考察定积分 f(x dx=f(t)dt 如果上限x在区间[a,b上任意变动,则对 于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所 以它在,b上定义了一个函数, 记o(x)=f(O).积分上限函数
江西理工大学理学院 设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，并且设x为 [a,b]上的一点， ∫ xa f (x)dx 考察定积分 ∫ = xa f (t)dt 记 ( ) ( ) . ∫ Φ = xa x f t dt 积分上限函数 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对 于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所 以它在[a,b]上定义了一个函数， 三、积分上限函数及其导数