2.柱坐标系 D(,z) 位矢：R=re,+zk 速度：p=吸-r它，+r9e,+认 a-r9E,t+P9+2r0E*函 加速度：a= 可见，柱坐标系比平面极坐标系只是多了一个Z分量。 三自然坐标系（使用前提：轨迹已知） 质点沿平面曲线c运动时，其速 度沿轨迹的切线方向。 元一切向 d0 ds n一法向 了构成平面自然坐标系。 注意：坐标为(5，)，沿元方向S增加.0 X
2.柱坐标系 位矢： r kzerR K K K += 可见 ,柱坐标系比平面极坐标系只是多了一个 Z分量。 三 自然坐标系 (使用前提 :轨迹已知 ) 质点沿平面曲线 c运动时 ,其速 度沿轨迹的切线方向。 τ 切向 K n 法向 K x 0 z y r K R K θ zrp ),( 速度： kzrr θ dt Rd v r ee K K K K K ++== θ θ 加速度： kzrrrr dt vd a r ee K K K K K +++−== θ θθθ )2()( 2 y 0 x r K c n K n K ′ dθ τ K ′ τ K p θ p′ ds 构成平面自然坐标系。 注意 :坐标为 ,沿 方向 增加 τ . K s θ),( s
在平面自然坐标系中： ds 速度：)=v元= dt v=问= d_西 dt dt 0 X 加速度：a= 而d dv di dv di deds (y)= -元+y t+v dt dt dtdtdt de ds dt dr ds 因为 = de dθ =P一一曲率半径 故1 dv d- -n=at+a n dt
在平面自然坐标系中 : ττ K K K dt ds vv == dt ds dt rd vv === K K dt ds ds d d d v dt dv dt d v dt dv v dt d dt vd a θ θ τ τ τ ττ K K K K K K K )( +=+=== 速度： 加速度： 因为 ρ θ = d ds n d d K K = θ τ 曲率半径 naan v dt dv a n K K K K K τ +=+= ρ τ τ 2 故 y 0 x r K c n K n K ′ dθ τ K ′ τ K p θ p′ ds
d= n=at+a n dt dv 速度大小变化引起的 切向加速度，三 dt 法向加速度 速度方向变化引起的 an= 0 称上式为内禀方程或本性方程。 对空间曲线运动，自然坐标系有三个坐标轴：元，几，b (b=元×n) 元，n在密切面内，元，在法平面内.称为主法线，b 为副法线，加速度恒位于密切面内. dy a=at+a n+ab a= = 6≡0 dt
ρ 2 v a n = dt dv 切向加速度 aτ = 速度大小变化引起的 法向加速度 速度方向变化引起的 称上式为内禀方程或本性方程 . bn banaaa K K K K τ τ ++= dt dv aτ = ρ 2 v a n = ≡ 0 b a naan v dt dv a n K K K K K τ +=+= ρ τ τ 2 对空间曲线运动，自然坐标系有三个坐标轴： nb )( K K K τ ×= bn K K K τ , n在密切面内 , 在法平面内. 称 为主法线， K K τ , bn K K , 为副法线， b K 加速度 恒位于密切面内 a . K n K
例题1：如图所示，设杆OA 以角速度ω绕o转动，系在A 端的绳绕过滑轮B,绳的另一 端挂一重物M,试求M的速 度。已知OB=h=常数， B ∠OBA=0。 90'-(a+9)
A v K v M K α+θ ( +− θα ) 0 90 例题 1：如图所示，设杆OA 以角速度 绕 o转动，系在 A 端的绳绕过滑轮B,绳的另一 端挂一重物M,试求 M的速 度。已知OB=h=常数， ∠OBA= α 。 ω
解法1：以0为极点，OB为极轴， OA为矢径，则 vx=v,cos90-(a+e)=vasin(a+0)M 90-(a+) .v=0A0=OA@ sin(a+e)=sin B sin B sin a h OA .vy ho sin a 解法2：以B为极点，BO为极轴。BA为矢径，则 yM=产(r=B④ 因为r2=h2+OA-2hOAc0s0 2ri =2h0A0 sin 0 OAsin0=rsin a 所以r=hosina Vy hosina
解法 1：以 0为极点,OB为极轴, OA为矢径, 则 = [90cos ( θα )] sin ( +=+− θα ) A o vv AM v A == OAOAv ωθ ∵ α θ =+ sin)sin( β h OA β sinsin α = M =∴ hv ω sin α 解法2: 以 B为极点，BO为极轴。BA为矢径，则 M = = BArrv )( 因为 cos2 θ 2 22 −+= OAhOAhr sin22 θθ = OAhrr = rOA sinsin αθ 所以 = hr ω sin α M = hv ωsin α A v K v M K α+θ ( +− θα ) 0 90