湖南大学：《高等数学》课程PPT教学课件（讲稿）第一章 向量代数与空间解析几何（1.7-1.8）高阶偏导数及泰勒公式、方向导数

匚高等数学 故,/y(x0,y0) m lim [f(x+△x,y10+△y)-f(xo0,y+y) △y->0△x→>0△X△y (n+xx)+(0,2) 同理f(x0,y0) f(x+Ax,y+△y)-f(x0+△x,y) △x-04y>0△x△y f(x02y+△y)+f(xo,yo)

, ( , ) 0 0 f x y xy 故   ( , ) 1 lim lim 0 0 0 0 +  +  −   =  →  → f x x y y y x x y f (x0 , y0 +y) – f (x0 +x , y0 ) + f (x0 , y0 )] 同理 ( , ) 0 0 f x y yx   ( , ) 1 lim lim 0 0 0 0 +  +  −   =  →  → f x x y y x y x y f (x0 +x , y0 ) – f (x0 , y0 +y ) + f (x0 , y0 )]

匚高等数学 证:分别给x,y以改变量Ax,Ay,使(x0+△x,y0+Ay) (x0+△x,yo)及(x,y+△y)均在U(Xx0)内 f(o+△y)-(x,、1b) 记A=[f(x+△x,y+△y)-f(xo+△x ax)=f(x, yo +Ay)f(,yo 有A=9(x0+Ax)-0(x0)

证: 分别给 x, y 以改变量x, y , 使(x0 +x , y0 +y), (x 0 +x , y0 )及 (x0 , y0 +y)均在U(X0 )内. 记 A = [ f (x0 +x , y0 +y) – f (x0 +x , y0 )] – [ f (x0 , y0 +y) – f (x0 , y0 )] (x) = f (x , y0 +y ) – f (x , y0 ), 有 A =  (x0 +x) –  (x0 )

匚高等数学 因/x在U(X0内存在从而在U(X0)存在 即(x)在x0的某邻域内可导,故满足拉格郎日 中值定理条件 因A=Q(x+△x)-(x),以(x)=f(x,y+4y)f(x,yO) A=q'(x0+B1△x)△x L(o +0,4x, yo+Ay)f(o+8,4r, yo)]4x, 其中0<B1<1

( ) , ( ) . 因f xy 在U X0 内存在 从而f x 在U X0 存在 即(x) 在x0的某邻域内可导, 故满足拉格郎日 中值定理条件. 因A =  (x0 +x) – (x0 ) , (x) = f (x , y0 +y )–f (x , y0 ), A = ' (x0 +1x) x [ ( , ) ( , )] , 0 1 0 0 1 0 f x x y y f x x y x = x  +  +  − x  +   ,0 1. 其中 1 

匚高等数学 A=[(x0+0△A,y+4y)-/(x+(Ax,xo)△x 再对变量y用拉格朗日中值定理.得 A=fx(x0+61Ax,y+62y)Ay,0<6,62< 另外,A=[f(0+Ax2+Ay)f(xo,y+y Lf(o+Ax, yo)-f(o, yo) 记v(y)=f(xo+Ax,y)-f(xo,y),从而

再对变量 y 用拉格朗日中值定理. 得 ( , ) , 0 , 1. A = f xy  x0 +1x y0 + 2y xy 1  2  另外, A = [ f (x0 +x , y0 +y) – f (x0 , y0 +y )] – [ f (x0+x, y0 ) – f (x0 , y0 )] 记 (y) = f (x0 +x , y) – f (x0 , y), 从而 A f x x y y f x x y x = [ x ( 0 +1 , 0 +  ) − x ( 0 +1 , 0 )]

匚高等数学 A=v(υ+△Δy)-vv)(由拉格朗日中值定理) v(y+634y)△y I(xo +Ax, yo +034y)-f(xo, yo +034y)Ay =f(xo+44x,yo +034yAxAy, 0<0,0<1

A = (y0 +y) –(y0 )(由拉格朗日中值定理) f x x y y f x y y y = [ y ( 0 +  , 0 +3 ) − y ( 0 , 0 +3 )] ( , ) , 0 , 1. = f yx  x0 + 4x y0 + 3y xy  3  4  = ( y + y)y  0 3