匚高等数学 A=f(xo +0,4x, yo +BaY)ArAy A=fx(xo+624xy+034y)△x△y 故 fX(xo +0,4x, yo +024y)=fu(xo +044x, yo +B34y 令Ax→>0,4y→0.因fm,f"在(x2y0)连续有, fx(xo, yo)=fux(o, yo)
故 ( , ) ( , ) 0 1 0 2 0 4 0 3 f x x y y f x x y y xy + + = yx + + 0, 0. , ( , ) , , 令x → y → 因 f xy f yx 在 x0 y0 连续 有 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y xy yx = A f x x y y x y = xy ( 0 +1 , 0 + 2 ) A f x x y y x y = yx ( 0 + 4 , 0 +3 )
匚高等数学 注 1定理1的结果可推广到更高阶的混合偏 导的情形.同时可推广到二元以上的函数情形 即,若混合偏导数连续,则混合偏导相等(即 求混合偏导与求导顺序无关)
1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏 导的情形. 同时可推广到二元以上的函数情形. 即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即 求混合偏导与求导顺序无关). 注
匚高等数学 2若多元函数f(X在区域D内有(直到)k 阶连续偏导.则记为f(X∈C(D).为非负整数 若f(x,y)∈C(D),则不论求导顺序如何 只要是对x求导m次,对y求导k-m次都 可写成 f 或 m k-m Ox" Oy k-m
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续偏导. 则记为 f (X)Ck (D). k为非负整数. 若 f (x, y)Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k – m 次, 都 可写成 ( ) , , k m k m x y k f m k m x y f − − 或
匚高等数学 例2.设n=(x,y)在任何点(xy处的全微分 du=(x2+ay)dx+(x+y+ bsin x)dy求常数a,b A: u=x+ay, ui=x+y+bsin x 知u,u,均可导,有 lx=a(连续),x=1+ bsin x,(连续) 从而,在任何点(xy),有ny=m 即1+ bsin x=a比较知a=1,b=0
例2. d ( )d ( sin )d . , . ( , ) ( , ) 2 u x ay x x y b x y a b u u x y x y 求常数 设 在任何点 处的全微分 = + + + + = 解: , sin . 2 u x ay u x y b x x = + y = + + 知u x ,u y均可导,有 u a,(连续), u 1 bsin x,(连续). xy = yx = + uxy uyx 从而,在任何点(x, y),有 = 即 1+ bsin x a. 比较知 a = 1, b = 0
匚高等数学 本题也可:由=x2+ay,积分(以为积分变量) 得 x+axy+cy 人而 从而,= ax+c(). 与n1=x+y+ bsin x比较可得a=1.b=0
: , ( ), 本题也可 由u x = x 2 + ay 积分 以x为积分变量 ( ). 3 1 3 得 u = x + axy + c y u ax c ( y). y 从而 = + u = x + y + bsin x a =1,b = 0. 与 y 比较可得