匚高等数学 例1设=x2y2+x+smy+3求全部二阶偏导和Q 一解 g 解:=5小x Q g-JXA+CO2 小 95VXM 95x =寸 了 92:0
例1. sin 3, . 3 3 2 2 xz z x y x y 设 = + + + 求全部二阶偏导和 解 : 2 1 , 2 = + y x xz 2 cos . 2 x y y yz = + 2 , 2 2 2 y x z = 4 , 2 xy y xz = 0 . 3 3 = xz 2 sin , 2 2 2 x y y z = − 4 . 2 xy x yz =
匚高等数学 在例,有 02z02 Oxo avax 问题 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等? 若不是,那么满足什么条件时,二阶混合 偏导数才相等呢?
1 , . 2 2 y x z x y z = 在例 中 有 若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合 偏导数才相等呢? 问题: 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?
匚高等数学 定理1 若z=f(1)=f(x,y)的两个混合偏导数 f af 在X。=(x0,y)的某邻域U(X0) Oxy avox 内存在,且它们在X连续,则 82f(X0)_02f(X0) avOx
若 z = f (X) = f (x, y)的两个混合偏导数 , , , ( , ) ( ) 0 0 0 0 0 2 2 内存在 且它们在 连续 在 的某邻域 X X x y U X y x f x y f = 则 y x f X x y f X = ( ) ( ) 0 2 0 2 定理1
匚高等数学 分析.按定义 f(x,y)=lim f(x+△x,y)-f(x2y) △x→>0 △x 8,(x, y)=lm 8(x,y+Ay)g(x,y) △y->0 一△y f(x,y)=l(x,yly=lim f(x,y+Ay)-f(x, y △y>0 △
分析. 按定义 , ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 x f x x y f x y f x y x x + − = → , ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 y g x y y g x y g x y y y + − = → f (x, y) xy y x f x y = ( , ) , ( , ) ( , ) lim 0 y f x y y f x y x x y + − = →
匚高等数学 =1m f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△ △y→>0△ yLAx→>0 △x lim/(x+Ax, y)-f(x,y) Ax->0 △ lim lim Lf(x+Ax, y+Ay)-f(x, y+Ay 4y→>0△x->0△△ f(x+Ar,y)+f(x,DI
y y = → 1 lim 0 + + − + → x f x x y y f x y y x ( , ) ( , ) lim 0 + − − → x f x x y f x y x ( , ) ( , ) lim 0 ( , ) ( , ) 1 1 lim lim 0 0 f x x y y f x y y y x y x + + − + = → → − f (x + x, y) + f (x, y)