第6页240ctober2025第九章拉普拉氏变换2、利用留数求逆变换定理设si,S2,…,S,是函数F(s)的所有奇点（适当选取使得这些奇点都在半面Re(s)<β内），且当s→时，F(s)→0，则有nC+iooZF(s)estds =f(t) :Res[F(s)e't,s,]. (2)JB-ioo2元ik=1B+iR证明思路：如图，引进辅助半.S1圆周，则形成闭合路径CRL.S2应用留数定理，令R→+0，并β.Sn证明cr上的积分趋于0，由此便β-iR可得到结论结悠回00束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第6页 证明思路：如图，引进辅助半 圆周，则形成闭合路径. 应用留数定理，令R→+∞，并 证明cR上的积分趋于0，由此便 可得到结论. 2、利用留数求逆变换 定理 ( ) 0, Re( ) , , , ( ) 1 2 → → s F s s s s s F s n 且 当 时 ， 选 取 使得这些奇点都在半平面 内）， 设 是函数 的所有奇点（适当 则有 ( ) R e [ ( ) , ]. (2) 2 1 ( ) 1 = + − = = n k k st i i st F s e ds s F s e s i f t cR +iR .s2 .s1 .sn -iR L
第7页240ctober2025第九章拉普拉氏变换证明：设闭曲线C=L+Cr：L在平面Re(s)>β内，C,是半径为R的半圆弧．当R充分大时，可使得所有的奇点全在C内由留数定理可得iRes[F(s)e", s]F(s)e" ds = 2元ik=1Cβ+iα即F(s)e"ds + Jc.F(s)e"ds-ZRes[F(s)e",sk]2元iLJβ-i00利用第五章中的方法，可以证明当t>0时limF(s)es ds = 0.R8B+i因此ZRes[F(s)e",s ]F(s)est ds =f(t) =B-i2元iSk=1结束口
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第7页 证明： . Re( ) C L C L s C R R R R C 设闭曲线 = + 在平面 内， 是半径 为 的半圆弧.当 充分大时，可使得所有的奇点全在 内. 1 ( ) 2 Re ( ) , n st st k C k F s e ds i s F s e s = = 由留数定理可得 1 1 ( ) ( ) Re ( ) , 2 R n i st st st k i C k F s e ds F s e ds s F s e s i + − = + = 即 R 0 0 , lim ( ) . R st C t F s e ds →+ = 利用第五章中的方法，可以证明当 时 1 1 ( ) ( ) Re ( ) , 2 . n i st st k i k f t F s e ds s F s e s i + − = = = 因此
第8页240ctober2025第九章拉普拉氏变换注:A(s)若 F(s)为不可约真有理分式则我们有B(s)如下简单的方法来求留数：情形1 若B(s)有n个单零点 Si,S2，,Sn，则A(s,)esrt-f(t) = L-liB(s)B'(Sk)k=1情形2 若B(s)有m级零点 Sk，则1A(s)A(s)StYResimeB(s)B(s)(m-1)! s→)结达口束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第8页 8 注： . ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ 1 1 = − = = n k k s t k B s A s e B s A s f t L k 情形1 若B(s)有n个单零点 s1 ,s2 , ,sn , 则 情形2 若B(s)有m 级零点 sk , 则 . ( ) ( ) lim ( ) ( 1)! 1 , ] ( ) ( ) R e [ ( −1) → − − = m m s t k s s k s t e B s A s s s m e s B s A s s k 为不可约真有理分式,则我们有 如下简单的方法来求留数: ( ) ( ) ( ) A s F s B s 若 =