注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立例如, y=x,x E[-2,2];在[-2,2]上除,f'(0)不存在外,满足罗尔定理的一切条件,但在区间[-2,21内找不到一点能使 f'(x)=0.1 - x, x E (0,1]又例如,0, x=0y = x, x e[0,1]经济数学微积分
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 的一切条件 在 − 上除 f 不存在外 满足罗尔定理 ( ) 0. [-2 2] 使 f x = 但在区间 ， 内找不到一点能 ; 0, 0 1 , (0,1] = − = x x x y y = x, x[0,1]. 又例如
例1 证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根证： 设 f(x)= x5 -5x+1,则 f(x)在[0,1]连续由介值定理且 f(0) =1, f(1) =-3.日x。E(0,1),使f(x)=0.即为方程的小于1的正实根设另有x, E(0,1),x, ±xo，使 f(x,)=0.：f(x)在xo,x,之间满足罗尔定理的条件:至少存在一个号(在xo,x, 之间),使得 f'()=0.但 f'(x)=5(x4-1)<0,(xE(0,1)矛盾,:为唯一实根华经济数学微积分
例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证: ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根
拉格朗日中值定理二、(Lagrange's Mean-valueTheorem)拉格朗日中值定理如果函数f(x)(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)使等式内至少有一点(a<<b),成立f(b) - f(a) = f (E)(b-a)注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f(a)= f(b)f(b)- f(a)结论亦可写成= f'()b-a经济数学微积分
二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)(1)在闭区间 [a,b]上连续,(2)在开区间(a,b) 内可导,那末在(a,b) 内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a 结论亦可写成 (Lagrange’s Mean-value Theorem)