第一换元法dx1-a1n+(a±0)公式(12)x2-a22adx1d(x+a)1dxd(x-a)ax022a2ax-ax+ax-a1 ln(ln|x -al- In|x + aD) + C :C.2a2ax+adx[1+sinxIn公式(13)C。cosxcosxdxd(sinx)cosxdx(令 sinx = u)cos2x-sin?xcosxduu+11+sinx11+sinxInC = lnCnCu22-12Z1u-sinxcosx12
12 第一换元法 公式 (12) �� � �−� � = � �� �� �−� �+� + �（� ≠ �）。 �� � �−� � = � �� �� �−� − �� �+� = � �� � �−� �−� − � �+� �+� = � �� �� � − � − �� � + � + � = � �� �� �−� �+� + �。 公式 (13) �� 𝐜�� = �� �+𝐬�� 𝐜�� + �。 �� 𝐜�� = 𝐜���� 𝐜��� = � 𝐬�� �−𝐬� �� （令 𝐬�� = �） = �� �−� � = � � �� �+� �−� + � = � � �� �+𝐬�� �−𝐬�� + � = �� �+𝐬�� 𝐜�� + �
第一换元法例了sin5xcosxdx。sinvxdx。例Vx13
13 第一换元法 例 𝐬� ��𝐜����。 例 𝐬� � � ��
第一换元法例 了(2x-3)11dx。dx例x Inx In(Inx)14
14 第一换元法 例 �� − � ����。 例 �� � ��� �� ���
第一换元法( earctan*+xln(1+ x2)dx。例1+x215
15 第一换元法 例 � ���𝐭��+��� �+ � � �+� � ��
第二换元法公式 Jf[βp(x)lβ'(x)dx = J f[βp(x)]d[p(x)] = J f(u)du,利用右侧求左侧，为第一换元法；而利用左侧求右侧，则为第二换元楚理设函数x=(t) 在区间 I 可导且 p(t) 0,若 f[p(t)lβ'(t)dt = F(t) + C,则 J f(x)dx = F[βp-1(x)] + C。证最F[p-1(x)] =是F(t) 岁= f[s(t)]p'(t) = f[s(t)] = f(x)。dxd注计算时，要构造变换x=β(t)，同时需求出其反函数t=p-1(x)于是, Jf(x)dx = Jf[p(t)lp'(t)dt = F(t)+ C = F[p-1(x)] +C。16
16 第二换元法 公式 � � � �′ � �� = � � � � � � = � � ��， 利用右侧求左侧，为第一换元法；而利用左侧求右侧，则为第二换元 法。定理 设函数 � = � � 在区间 � 可导且 �′ � ≠ �， 若 � � � �′ � �� = � � + �， 则 � � �� = � �−� � + �。 证 � �� � �−� � = � �� � � �� �� = � � � �′ � � �′ � = � � � = � � 。 注 计算时，要构造变换 � = � � ，同时需求出其反函数 � = �−� � , 于是， � � �� = � � � �′ � �� = � � + � = � �−� � + �