第二换元法dx= ln(x+Vx2 +a2)+C (a> 0) 。公式(15)x2+a2),dx=x E(-o0,+ o), 令x = atant, t Edt.ncos2tdxCcosta1则dtdt =cos?tacostx2 + a2Va2 + x2x1+sint1+sint+ C1ln+ C1= lncostcosta+a2+ C1 = In(x + Vx2 + a2) + C。a7
17 第二换元法 公式 (15) �� � � + �� = �� � + � � + �� + �（� > �）。 � ∈ −∞, + ∞ ，令 � = �𝐭��，� ∈ − � � , � � ，�� = � 𝐜��� ��， 则 �� � � + �� = 𝐜�� � � 𝐜��� �� = � 𝐜�� �� = �� �+𝐬�� 𝐜�� + �� = �� �+𝐬�� 𝐜�� + �� = �� �+ � � + �� � + �� = �� � + � � + �� + �。 � � � � 2 + � 2
第二换元法当被积函数中含有Vx2+a2的因子时，常使用三角变换x=atant,此时有+=最（a>0);a当被积函数中含有Vx2一a2的因子时，常使用三角变换x=cost"此时有Vx2 -α2 =altantl （a >0） ;当被积函数中含有Va2-x2的因子时，常使用三角变换x=asint，此时有Va2-x2=acost（a>0)。18
18 第二换元法 当被积函数中含有 � � + �� 的因子时，常使用三角变换 � = �𝐭��， 此时有 � � + �� = � 𝐜��（� > �）； 当被积函数中含有 � � − �� 的因子时，常使用三角变换 � = � 𝐜��， 此时有 � � − �� = � 𝐭�� （� > �）； 当被积函数中含有 �� − � � 的因子时，常使用三角变换 � = �𝐬��， 此时有 �� − � � = �𝐜��（� > �）
第二换元法omdx= ln|x+Vx2-a2|+C (a>0)。公式(16)a2/ x2asinta令x=则 dx:dt,cos2tcost定义域x E (-0, -a) u (a, + ), 对应有 t E (o,)u(,π),dx1asint1则了dt。dt =Vx2 α2a|tant| cos2tVx2-a2cost1+sint当0<t<"dt = In时，原式=了+ C1costcostax+/x2-a2+ C1 = In|x + Vx2 - a2| + C。na-X1+sint当0<t<π元时，原式=了二1dt=-ln+ C1cost=- In-x + Vx2 - a2+ C2 = ln x + Vx2 - a2+ C。a19
19 第二换元法 公式 (16) �� � � − �� = �� � + � � − �� + �（� > �）。 定义域 � ∈ −∞, − � ∪ �, + ∞ ，对应有 � ∈ �, � � ∪ � � , � ， 则 �� � � − �� = � � 𝐭�� �𝐬�� 𝐜��� �� = � 𝐜�� ��。 令 � = � 𝐜��，则 �� = �𝐬�� 𝐜��� ��， 当 � < � < � � 时，原式 = � 𝐜�� �� = �� �+𝐬�� 𝐜�� + �� = �� �+ � � − �� � + �� = �� � + � � − �� + �。 当 � < � < � 时，原式 = −� 𝐜�� �� =− �� �+𝐬�� 𝐜�� + �� =− �� −� + � � − �� + �� = �� � + � � − �� + �。 � � � � � − �� � � −�