中国矿业大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 参数估计

L()=L(x1…,xn;6)=1m(x;(),∈..1) 它是函数。L(O)称为样本的似然函数。 极大似然估计法:固定x1,…,x;挑选使概率 (x1,…,xn;)达到最大值的参数O,作为e估计值, 即取θ使得 L(x1,,x1;()=maL(x1…,xn;0)(.2) 6与x1,…,x,有关,记为6(x1,…,x 称其为参数的极大似然佔计值。 0(X,…,Xn)称为参数6的极大似然估计量

1 1 ( ) ( , , ; ) ( ; ), . (1.1) n n i i L L x x p x     = = =   它是  的函数。L( ) 称为样本的似然函数。 1 1 , , ; ˆ ( , , ; ) ˆ n n x x L x x     ：固定 挑选使概率 达到最大值的参数 ，作为 的估计值， 即取 极大似然估计法 使得： 1 1 ˆ ( , , ; ) max ( , , ; ) (1.2) L x x L x x n n     = 1 1 ˆ ˆ , , ( , , );   x x x x n n  与 有关，记为 称其为参数 的极大似然估计值。 1 ˆ ( , , )   X X n 称为参数 的极大似然估计量

(2).若总体X属连续型,其概率密度f(x;O),∈回 的形式已知,0为待估参数; 设x1,…,x是相应X1,…,X,的一个样本值,则随 机点(X1,…,X落在(x1,…,x)的邻域(边长分别为 dx,…,axn的唯维立方体)内的概率近似为: ∏f(x;M (1.3) i=1 我们取硝估计值O,使概率(1.3)取到最大值

(2). ( ; ), ; X f x    若总体 属连续型，其概率密度   的形式已知， 为待估参数 1 1 1 1 1 , , , , ( , , ) ( , , ) , , n n n n n x x X X X X x x dx dx n 设 是相应 的一个样本值，则随 机点 落在 的邻域（边长分别为 的 维立方体）内的概率近似为： 1 ( ; ) (1.3) n i i i f x dx  =  ˆ 我们取  的估计值 ，使概率(1.3) 取到最大值

但不随而变,故只需考虑: L()=L(x1,…,xn;0)=∏f(x;:0),(1.4) 的最大值,这里L()称为样本的似然函数。 则称(,“为啪极大似然估计0) 若L(x1,…,xn;O)=maxL(x1,…,x 6∈⊙ 称θ(X1…,Xn)为硝的极大似然估计量

i i 但dx 不随而变，故只需考虑： 1 1 ( ) ( , , ; ) ( ; ), (1.4) n n i i L L x x f x    = = =  的最大值，这里L( )  称为样本的似然函数。 1 1 ˆ ( , , ; ) max ( , , ; ) L x x L x x n n     若 = 1 ˆ ( , , ) n 则称  x x 为 的极大似然估计值。 1 ˆ ( , , ) 称  X X n 为 的极大似然估计量

定义归纳 L()=L(x1,x1:0)=1(x;0),∈回 似然函数 L()=L(x1,…,xn;()=f(x:0), i=1 若L(x1,…,xn;0)=maxL(x1,…,xn;) 6∈⊙ 则称θ(x,…,xn)为e的极大似然估计值。 称θ(X1…,Xn)为硝的极大似然估计量。 一般,p(x;(),f(x;:0)关于可微,故0可由下式求得: L(6 d6=0

1 1 ( ) ( , , ; ) ( ; ), n n i i L L x x f x    = = =  1 1 ˆ ( , , ; ) max ( , , ; ) L x x L x x n n     若 = 1 ˆ ( , , ) n 则称  x x 为 的极大似然估计值。 1 ˆ ( , , ) 称  X X n 为 的极大似然估计量。 ( ; ), ( ; ) ( ) 0. p x f x dL d       = 一般， 关于 可微，故 可由下式求得： 1 1 ( ) ( , , ; ) ( ; ), n n i i L L x x p x     =  = =       似然函数 定义归纳

又因L()与nL(6)在同一处取到极值,因此e极 大似然估计θ也可从下述方程解得: d lnL(6)=0 (15) de 若母体的分布中包含多个参数, 即可令0=0.;=1,,k或 oIn L =0,i=1,…,k. 06 06 解个方程组求得θ1,…,O的极大似然估计值

( ) ln ( ) ln ( ) 0. (1.5) L L d L d        = 又因 与 在同一 处取到极值，因此 的极 大似然估计 也可从下述方程解得： 若母体的分布中包含多个参数， ln 0, 1, , . 0, 1, , . i i L L i k i k     = = = =   即可令 或 1 , , k 解k个方程组求得  的极大似然估计值