55函数的凸性与拐点第二十一讲凸函数的等价条件，例数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 凸函数的等价条件，例 第二十一讲
55函数的凸性与拐点定理6.14设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：(i)f(x)为I上的凸函数;(i)f'(x)为I上的增函数;(iii对于I上的任意两点 xi，x2，有f(x)≥ f(x)+ f'(x)(x, -x)注(iii)中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 定理6.14 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述论断互相 (i) ( ) fx I 为 上的凸函数 ; 1 2 (iii) 对于 上的任意两点 有 I x x , , (ii) ( ) fx I ′ 为 上的增函数 ; 2 1 12 1 fx fx f x x x ( ) ( ) ( )( ). ≥+ − ′ 注 (iii) 中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方. 等价:
S5函数的凸性与拐点证(i)=→(ii) 任取 xj,x, I 和正数 h, 使X <X2, 且X -heI, X, +he I.已知f是凸函数，由（4)式f(x))- f(x, -h) f(x,)- f(x)hX, -Xif(x, +h) - f(x,)<令h→0+,因为hlim (x)-f(x, -h)= f'(x) = f'(x)hh-→>0tJ(x, +h) - f(x) = f(x2)= f(x2),limhh-→0(x)≤ ()-f()≤ f'(x2),所以X, -Xi故f'(x)递增数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 12 1 2 x x x h Ix h I < −∈ +∈ , , . 且 2 2 ( ) () . fx fx h h + − ≤ 11 21 2 1 fx x x x () ( ) () () f h f f h x x − − − ≤ − 已知 是凸函数，由(4)式 f 令h → 0+ ,因为 1 1 1 1 0 () ( ) lim ( ) ( ), h fx x f h fx fx + h − → − − = = ′ ′ 2 2 2 2 0 ( ) () lim ( ) ( ), h fx fx h fx fx + h + → + − = = ′ ′ 所以 故 递增 f x ′() . 2 1 1 2 2 1 () () ( ) ( ), fx fx f x f x x x − ′ ′ ≤ ≤ − 证 1 2 (i) (ii) ⇒ 任取 xx I h , ∈ 和正数 , 使
55函数的凸性与拐点XiX2x,-hx,+h0x数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 1 x h − 1 x 2 x h + y O 2 x x
55函数的凸性与拐点(ii)→(iii)对于任意 xi,x I,不妨设 xi<x2.则 f(x,)-f(x) = f(5)(x2 -x), X, <≤<x2.因为 f'(x)递增,所以f(x)≥ f(x)+ f'(x)(x, -x)对于 x,>x2，仍可得到相同的结论。(ii)f'(x)为I上的增函数;(iii)对于I上的任意两点 xi，x2，有f(x,)≥ f()+ f'(x)(x, -x)数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 1 2 1 2 (ii) (iii ⇒ ) 对于任意 xx I x x , ∈ < , . 不妨设 2 1 21 1 2 则 fx fx f x x x x ( ) ( ) ( )( ), − = − << ′ ξ ξ . 因为 递增 所以 f x ′() , 2 1 12 1 fx fx f x x x ( ) ( ) ( )( ). ≥+ − ′ (ii) ( ) fx I ′ 为 上的增函数 ; 1 2 (iii) 对于 上的任意两点 有 I x x , , 2 1 12 1 fx fx f x x x ( ) ( ) ( )( ). ≥+ − ′ 1 2 对于 x x > ,仍可得到相同的结论