即 2=调 11、求旋转椭球面3x2+y2+z2=16上点(-1，-2,3)处的切平面与x0面的夹 角的余弦. 解：xOy面的法向为m=(0,0.). 令F(x,5,z）=3x2+y2+z2-16,则点(1，-2,3)处的法向量为 im=(E,FFa=6x,2y2z%2y=(-6,-46) 点(-1，-2,3)处的切平面与x0y面的夹角的余弦为 cos0=n.n2 6 3 i-n2V6+4+622 12、试证曲面√+√+√2=√a(a>0)上任何点处的切平面在各坐标轴上 的截距之和等于a 证明：设F(x,以，z)=F+√F+E-√a 则i=2证2 在曲面上任取一点M(x,),则在点M处的切平面方程为 底左后+6 化为藏距式得应应+后引 所以截距之和为 成++=(+风+)=a. 习题9-7 1、求函数z=x2+y2在点1,2)处沿从点(1,2)到点(2，2+√3)的方向的方向
导数. 解：因为从点1,2)到点(2,2+)的向量为=0，√5)，故 =(cova.co m). 1 又因为 点2a=28=2w4 故所求方向导数为 -会oa+m=249126 2、求函数z=n(x+)在抛物线y2=4x上点(1,2)处，沿这抛物线在该点处偏 向x轴正向的切线方向的方向导数. 解，方程产=4两边对x求号得2=4，解得y一子 在抛物线y2=4x上点(1,2)处，切线的斜率为y0)=1,切向量为1=，)，单 位切向最为=方方=(@sasm、 又因为 故所求方向导数为 4求函数u=r+2-z在点112处沿方向角为a=子，B=千，7=子 的方向的方向导数. 解因为方向向量为7-(o.o7》-兮号又因为
aaa=02-2a=-1. n-aka0 器-6e-wls=n 所以 5、求函数1=z在点（⑤，1,2）处沿从点(51,2)到点(9,4,14的方向的方向导数 :国为1=0-544-2=4312上-合言片 器烈2斜=n器5 所以 6、求函数4=x2+y2+z2在曲线x=1,y=2,z=?上点(1,11)处，沿曲线在该 点的切线正方向（对应于1增大的方向）的方向导. 解：曲线x=1,y=户，z=上点(11,1)对应的参数为1=1，在点(1,11)的切线正 向为 i=24r%-2引.6方而而丽 13 又 烈n-24w-2.=2lw-2.-2w-2 所以
7、求函数1=x+y+z在球面x2+y2+z2=1上点(x,水，)处，沿球面在该点 的外法线方向的方向导数 解：令F(x,八z)=x2+y2+z2-1,则球面x2+y2+z2=1在点(x,)处的 外法向量为 n=(E,F,F儿n=2x2y,22 子后w对amo 又 所以 8、设fx,y,z)=x2+2y2+3z2+y+3x-2y-6z,求gradf0,0,0)及grad f1,1,1). -2x+3=+2-6r-6 因为 uw=6,gw,兽w=0 所以gradf0,0,0)=3i-2广-6k, grad f(1,1,1)=6i+3j. 习题9-8 2、求函数f(x,y)=4x-y)-x2-y2的极值 解：解方程组(c)=4-2x=0 Uc)=4-2y=0求得驻点为2-2.由于
A=/(2,-2)=-2<0,B=/n(2,-2)=0,C=∫(2，-2)=-2，AC-B2>0 所以在点(2，-2)处，函数取得极大值，极大值为f(2,-2)=8 3、求函数f(x,y)=(6.x-x2)(4y-y2)的极值. 解：解方程组(c)=(6-2x4y-y)=0 f(化，)=(6x-x2(4-2)=0 得=3x=0.=0x=6x=6 y=2'y=0'y=4'y=0'y=4 因此驻点为0,0)，(0,4)，(3,2)，(6,0)，(6,4). 函数的二阶偏导数为厂(xy)=-2(4-y), 人(x,)=43-x)2-y),fn(x,y)=-26x-x2). 在点(0,0处，人=0，/=24，/m=0,4C-B2=-242<0,所以0,0)不是极 值： 在点(0,4)处，/=0，fn=-24,/n=0,AC-B2=-24<0,所以f(0,4)不是 极值： 在点(3,2)处，=-8，f=0,∫m=-18,4C-B2=8x18>0,又A<0,所以 f3.2)=36是函数的极大值： 在点(6,0)处，∫.=0，/n=-24fn=0,AC-B2=-242<0,所以f(6,0)不是 极值： 在点(6,4)处，∫。=0，/=24，n=0,AC-B=-242<0,所以f(6,4)不是极 值 综上所述，函数只有一个极值，这个极值是极大值f(3,2)=36. 4、求函数f(xy)=e(x+y2+2y)的极值. 解，解方程组)心3+-0得驻点时-， f(x,)=e2(2y+2)=0 A=f(x,y)=42(x+y2+2y+1.B=nx,y)=4e2(0+10,c=人c,)=2e