证设在[ab]上二fx,由Th1 函数f(x)在区间[a,b上连续,因此可积 我们要证mf(x)k=f(x)k.注意到 n→oa 一=一1,可见只要 fn()-f(x)< b 在[a,b]上成
证 设在[ a , b ]上 n f ⎯⎯→ ⎯⎯→ f (x) , 由 Th1, 函数 f (x)在区间[ a , b ]上连续,因此可积. 我们要证 = → b a b a n n lim f (x)dx f (x)dx. 注意到 − − b a n b a b a n f f | f f | , 可见只要 b a f x f x n − − | ( ) ( ) | 在[ a , b ]上成立
例1定义在[0,上的函数列 2nax,0sx≤、 2 fn(x)=2a,-2nanx,2n xS 0.-<x≤1 1.2 由于f(0)=0,故f0)=m10)=0 当0<x≤1时,只要n>,就有f(x)=0
例 1.定义在[0,1]上的函数列 1 2 ,0 2 1 1 ( ) 2 2 , 2 1 0, 1 n n n n n x x n f x n x x n n x n = − n = 1,2, 由于 (0) 0 n f = ，故 (0) = lim (0) = 0 → n n f f . 当0 x 1时，只要 x n 1 ，就有 f (x) = 0 n