第六章微分中值定理及其应用华师大数学分析（第五版）讲义111(-00,( o)x方V3f++一个↓个其大致图像如图(x)f增广减增例13[教材例5]证明不等式e>1+x,x+0证记f(x)=e"-1-x，则f(x)=e"-1.故当x>0时，f(x)>0，f严格递增；当x<0,f(x）<0，f严格递减.又由于f在x=0处连续，则当x￥0时，总有（参见上面引理）f(x)> f(0) = 0,从而证得e">1+x,x+0x3例14证明：当x>0时，sinx>x3! °x证f(0)=0,f(x)= sinx-3!x2f(x)= cosx-1+,f'(0)=0,2f"(x)=x-sinx>0(x>0)=f'在[0,+o)严格增（见引理）=f(x)>f(0)(x>0)=f在[0,+o0)严格增（见引理) = f(x)> f(0)=0(x>0)。11中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 1 ( , 3 ) 1 1 ( , 3 3 ) 1 ( , 3 x ) f f 其大致图像如图 例 13 [教材例 5] 证明不等式 xxe .0,1 x 证 记 xexf ，则 ．故当 时， x 1)( 1)( x exf x 0 xf 0)( ， 严格递增； 当 ， 严格递减．又由于 在 f ,0 fx x f 0)( f x 0处连续，则当 x 0 时，总有（参见上 面引理） fxf ,0)0()( 从而证得 xxe .0,1 x 例 14 证明：当 时， x 0 3 sin 3! x x x 。 证 3 ( ) sin 3! x fx x x ， f (0) 0 ， 2 ( ) cos 1 , (0) 0 2 x fx x f ， fx x x x ( ) sin 0( 0) ， f 在[0, ) 严格增（见引理） fx f x ( ) (0)( 0) f 在[0, ) 严格增（见引 理） f x( ) f x (0) 0( 0) 。 中国矿业大学数学学院 11
华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用例15设f(x）>0。能否推出f在某U(xo增。【总练习题：11]答不能。例如+1+x sinX+02f(x) =x0,x=0易求得（用定义）111x+0+2xsinCOs-2xxf'(x):1x=02'1>0.f'(0) :-2但对任意U(O)，f在U(O)既不是增，也不是减。因为：13>0取x,=土→0(n→), f'(x)2元+元21取x"=±→0(n→0),f'(x)=<02n元2【五】导数介值定理[达布（Darboux）定理]定理6(Darboux定理）若函数f在[a,bl上可导，且f'(a)≠f(b），k为介于f（a)，f'(b)之间任一实数，则至少存在一点e(a,b)，使得f'()=k.证设F(x)=f(x)-kx，则F(x)在[a,b]上可导，且F'(a) · F'(b) = (f'(a)- k)(f'(b)- k)< 0不妨设F'(a)>0,F(b)<0由导数的定义及极限的保号性，分别存在x eU(a),x, eU'(a),且 x,<x2,使得F(x)>F(a), F(x2)> F(b)因为F在[a,b]上可导，所以连续．根据最值定理，存在一点e[a,b]，使F在点=取得12中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 例 15 设 。能否推出 0 f x ()0 f 在某 增。[总练习题：11] 0 U x( ) 答 不能。例如 2 1 sin , 0 ( ) 2 0, 0 x x x f x x x 易求得（用定义） 1 11 2 sin cos , 0 2 ( ) 1 , 0 2 x x x x f x x 1 (0) 0 2 f 。 但对任意 ， U(0) f 在 既不是增，也不是减。因为： U(0) 取 1 0( ) 2 n x n n ， 3 () 0 2 n f x 取 1 0( ) 2 n x n n ， 1 () 0 2 n f x 【五】 导数介值定理[达布（Darboux）定理] 定理 6（Darboux 定理） 若函数 在 上可导，且 f ba ],[ bfaf )()( ，k 为介于 ， 之间任一实数，则至少存在一点 af )( bf )( ,( ba )，使得 )( kf . 证 设 )()( kxxfxF ，则 在xF )( [ ] ,ba 上可导，且 .0))()()(()()( kbfkafbFaF 不妨设 ．由导数的定义及极限的保号性，分别存在 ，且 0)(,0)( bFaF )(),( 0 2 aUxa 0 1 Ux 21 xx ，使得 ),()( 1 aFxF ).()( 2 bFxF 因为 在F [ ] ,ba 上可导，所以连续．根据最值定理，存在一点 [ ] ,ba ，使 在点 F 取得 中国矿业大学数学学院 12
华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用最大值。由上式可知±a,b。这就说明是F的极大值点.由费马定理得F（)=0，即f()= k,5e(a,b)推论设f在区间I上可导，且f(x)±0(xeI)，则f(x)>0(xeI)或f(x)<0(xeI)，从而f在区间I上严格单调。例16（即例7）设f在[a,b]上二阶可导。若f(a)=f(b)=0,f(a)f(b)>0，则(a,b)，使得f"()=0证f(a)=f(b)=0，在[a,b]用Rolle定理f'(c)=0,a<c<b对f(x)在[a,c],[c,b]上用Lag定理f'(c)-f(a)=f"(E)(c-a)= f"()<0,a<5<cf'(b)- f'(c)= f"(52)(b-c)= f"(52)>0,c<52 <b由导数介值定理，3e(5i,52)C(a,b)，"()=0。13中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 最大值．由上式可知 ,ba 。这就说明 是 的极大值点．由费马定理得 F F 0)( ，即 ( ) , bakf ).,( 中国矿业大学数学学院 13 推 论 设 f 在区间 I 上可导，且 f ( ) 0( ) x x I ， 则 f ( ) 0( x x I) 或 f ( ) 0( x x I) ，从而 f 在区间 I 上严格单调。 例 16 （即例 7） 设 f 在[ , a b]上二阶可导。若 fa fb f ( ) ( ) 0, () () 0 af b ，则 (,) a b ，使得 f () 0 证 fa f ( ) () 0 b ，在[ , a b]用 Rolle 定理 f ( ) c a 0, c b 对 f ( ) x 在[ , ac c ],[ , ] b 上用 Lag 定理 () ( 1 1 ) ( ) 0, 1 f c f af c f a ( )( a) c ( ) 2 2 ) ( ) ( ) 0, 2 f () ( b f cf b f c c b ) 由导数介值定理， 1 2 ( , ) (, a b ， f ( ) 0
华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用S2柯西中值定理和不定式极限【一】柯西中值定理定理1（柯西中值定理）设函数f和g满足：(i)在[a,b]上都连续;(i)在(a,b)上都可导；(ii)f(x)和g(x)不同时为零；(iv)g(a) ± g(b),则存在(a,b),使得f'() _ f(b)-f(a)g()g(b)-g(a)证作辅助函数F(v) = ()-[r(a)+ 0)-{((g(t) - g(a)g(b)-g(a)易见F在[a,b]上满足罗尔定理条件，故存在e（a,b)，使得F(5)= I(5)- 1(6)-T(α),g(5)= 0.g(b)-g(a)因为g（)+0（否则由上式f()也为零)，所以改写上式便得证.[u= g(x)【注1】几何意义，(v=J()asxsb,见下图.K7C(g(),f(c)B(g(b), f (b)A(g(a).J(a)ot【注2】令g(x)=x，则为Lag定理14中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 §2 柯西中值定理和不定式极限 【一】 柯西中值定理 定理 1 (柯西中值定理) 设函数 和f g 满足: (i)在 上都连续； ba ],[ (ii)在( ) ,ba 上都可导； (iii) 和 xgxf )()( 不同时为零； (iv) bgag ),()( 则存在 ba ),( 使得 . )()( )()( )( )( agbg afbf g f 证 作辅助函数 () () ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) . () () fb fa Fx f x f a gx ga gb ga 易见 在 上满足罗尔定理条件，故存在 F ba ],[ ba ),( ，使得 () () ( ) ( ) ( ) 0. () () fb fa Ff g gb ga 因为 g 0)( (否则由上式 f )( 也为零)，所以改写上式便得证． 【注 1】几何意义， ( ), ( ) u gx axb v fx ，见下图． 【注 2】令 ，则为 gx x ( ) Lag 定理 中国矿业大学数学学院 14
华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用【注3】若g(x)±O,xE(a,b)，则由Darboux定理的推论，g(x)严格单调，条件（ii)和（iv）都满足。例1（教材例1)设函数f在[a,b](a>0)上连续，在(a,b)上可导，则存在e(a,b)，使得bf(b)-f(a)= f(5)In-2证把要证的结论变形为f(b)- f(a)_ f()1-Inb-Ina取g(x)=lnx，对f.g用柯西中值定理便得证。【例2】（总练习题：3）设函数f在[a.bl上连续，在(a.b)上可导，且a·b>0，证明存在(a,b)，使得f()-5f'(E)a-bf(a) f(b)证结论变形f(x)f(3)-5f'(E)f(b)f(a)3bx0111()Eaf(x)对 F(x)=,G(x)=二用柯西中值定理便得证。xX【二】不定式极限0型或我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限，分别记为0型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达(L'Hospital)法则，柯西中值定理则是建立洛必达法则的理论依据.0定理2型不定式极限）若函数和g满足：015中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 【注 3】若 ，则由 Darboux 定理的推论， 严格单调，条件（iii） 和（iv）都满足。 g x x ab ( ) 0, ( , ) g x( ) 例 1（教材例 1）设函数 在f [ , ab a ]( 0) 上连续，在( ) ,ba 上可导，则存在 ba ),( ， 使得 ( ) ( ) ( )ln b fb fa f a 证 把要证的结论变形为 () () () ln ln 1 fb fa f b a 取 ln)( xxg ，对 f , g 用柯西中值定理便得证。 【例 2】（总练习题：3） 设函数 在[ , 上连续，在( )上可导，且 ，证 明存在 f a b] ,ba a b 0 ba ),( ，使得 1 () () () () a b f f a b fa fb 证 结论变形 2 2 () () ( ) () () 11 1 1 x fb fa f f f x b a x b a x 对 () 1 () , () f x Fx Gx x x 用柯西中值定理便得证。 【二】 不定式极限 我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限，分别记为 0 0 型或 型的不定式极限．现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达 (L’Hospital)法则．柯西中值定理则是建立洛必达法则的理论依据． 定理 2 ( 0 0 型不定式极限) 若函数 和f g 满足： 中国矿业大学数学学院 15