华师大数学分析（第五版)讲义第六章微分中值定理及其应用对函数f在[a,c],[c,b]上用由罗尔定理，存在5,e(a,c),5E(c,b)，使得f'(5)= f'(52)= 0对函数f在[5,5]再用罗尔定理，存在e(a,b)，使得f"(E)=0证法2不妨设f(a)>0,f(b)>0，显然f(x)丰0，不妨设f(c)>0，a<c<b。由Lag定理，f(b)- f(c)= f'(n)(b-c)= f(n)<0,c<n<b又，对f(x)在[a,n],[n,b]上用根的存在定理f(a)>0, f(n)<0=f'(5)=0,a<5<nf'(b)>0, f'(n)<0= f(≤2)= 0,n<≤2 <b对f(x)在[5,5]上用Rolle定理f"()=0,e(51,52)C(a,b)证法3（由导数介值定理证明，见下面例16）例8[习题6.1：9]设f在[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0，并存在一点cE(a,b)使得f(c)>0。证明3e(a,b)，使得f"()<0。证f(x)在[a,c]上用Lag定理，日(a,c)，使得f(c)-f(a)= f(5)(c-a)由于f(a)=0,f(c)>0,c-a>0,故f()>0。f(x)在[c,b]上用Lag定理，日52E(c,b)，使得f(b)- f(c)= f(52)(b-c)由于f(b)=0,f(c)>0,b-c>0,故f"(≤2)<0。因a<5<c<52<b，f(x)在[5,5]上可导，f(x)在[5,5]上再用Lag定理，35e(51,52)C(a,b)，使得6中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 对函数 f 在[ , ac cb ],[ , ]上用由罗尔定理，存在 1 2 ( , ), ( , ) ac cb ，使得 1 2 f f () () 0 对函数 f 在 1 2 [, ] 再用罗尔定理，存在 (,) a b ，使得 f () 0 证法 2 不妨设 fa fb ( ) 0, ( ) 0 ，显然 f x() 0 ，不妨设 ， 。 f c() 0 acb 由 Lag 定理， f ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0, b fc f b c f c b 又，对 f ( ) x 在[ , a ],[ , ] b 上用根的存在定理 1 1 fa f f a ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0, 2 2 f ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0, bf f b 对 f ( ) x 在 1 2 [, ] 上用 Rolle 定理 1 2 f ( ) 0, ( , ) ( , ) a b 证法 3（由导数介值定理证明，见下面例 16） 例 8 [习题 6.1：9] 设 f 在[ , a b]上二阶可导， fa fb () () 0 ，并存在一点 使得 。证明 c ab (,) f c() 0 ( , a b) ，使得 f ( ) 0 。 证 f ( ) x 在[ , a c]上用 Lag 定理， 1 (,) a c ，使得 1 f ( ) ( ) ( )( ) c fa f c a 由于 fa fc c a ( ) 0, ( ) 0, 0 ，故 1 f () 0 。 f ( ) x 在[ , c b]上用 Lag 定理， 2 (, ) c b ，使得 2 f ( ) ( ) ( )( ) b fc f b c 由于 fb fc b c ( ) 0, ( ) 0, 0 ，故 2 f ()0 。 因 1 2 a c b ， f ( ) x 在 1 2 [, ] 上可导， f ( ) x 在 1 2 [, ] 上再用 Lag 定理， 1 2 ( , ) (,) a b ，使得 中国矿业大学数学学院 6
华师大数学分析(第五版)讲义第六章微分中值定理及其应用f()-f'(5)=f"()(52-5)得f"(5)<0。【三】导数极限定理定理3（右侧导数极限定理）设函数f在点x。的某右邻域[xo,x+)上连续，在(xo,+)上可导，若导函数f(x)在点x的右极限f(x+0)=limf(x)存在，则f在点x。的右导数一定存在，且f(x)= f(x +0)(6)证任取xE(x,x+9)，f(x)在[xo,x]上满足拉格朗日定理条件，则存在e(xo,x)，使得(x)- f(0) = f'(c)(7)X-Xo当x→时，→x，（7）式两边取极限得(0) lim ()-() m ()- m (2)= (0 +0)-→x-xo1-→10-x0【注】是x的函数=(x)，这里用了变量替换法（即复合函数极限定理1)，其中三个条件是：(1）lim f(u)存在，(2)lim ≤(x)=xo，（3）三(x)±xou→xo1→0类似可得“左侧导数极限定理”。右（左）侧导数极限定理，统称为单侧导数极限定理。（与教材不同，在分段函数求导时，实际上用的是单侧）推论1（导数极限定理）设f在U(x）上连续，在U（）上可导，若limf(x)存在，则f(xo）一定存在，且f(xo)=limf(x)证由lim f(x)=f(x+0)=f(x-0)，又f(x)= f'(x +0), f'(x)= f'(x-0)7中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 fff ( ) ( ) () 21 2 1 得 f () 0 。 【三】 导数极限定理 定理 3 （右侧导数极限定理） 设函数 在点 的某右邻域 f 0 x 0 0 [, ) x x 上连续，在 0 0 (, ) x x 上可导，若导函数 f ( ) x 在点 的右极限 0 x 0 lim ( ) x x 0 f ( 0) x f x 存在，则 在 点 的右导数一定存在，且 f 0 x 0 0 fx fx ( ) ( 0) . (6) 证 任取 x 0 0 (, ) x x ， 在xf )( [ ] 0 , xx 上满足拉格朗日定理条件，则存在 0 ( ,) x x ， 使得 0 0 () ( ) ( ) fx fx f x x (7) 当 0 x x 时， 0 x ，（7）式两边取极限得 0 0 0 0 0 0 () ( ) ( ) lim lim ( ) lim ( ) ( 0) o x x x x x fx fx f x f f fx x x 【注】 是 x 的函数 ( ) x ，这里用了变量替换法（即复合函数极限定理 1），其中三 个条件是： （1） 0 lim ( ) u x f u 存在，（2） 0 0 lim ( ) x x x x ，（3） 0 ( ) x x 类似可得“左侧导数极限定理”。 右（左）侧导数极限定理，统称为单侧导数极限定理。 （与教材不同，在分段函数求导时，实际上用的是单侧） 推论 1（导数极限定理）设 f 在 上连续，在 上可导，若 0 U x( ) 0 U x( ) 0 lim ( ) x x f x 存在， 则 0 f ( ) x 一定存在，且 0 f x ( ) li 0 m ( ) x x f x 证 由 ，又 0 0 0 lim ( ) ( 0) ( 0) x x fx fx fx 00 00 fx fx fx fx ( ) ( 0), ( ) ( 0) 中国矿业大学数学学院 7
华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用所以 f(xo)= f'(x)=lim f(x),即 f'(x)= lim f(x)。推论2导函数的间断点一定是第二类的。证设f在U(x）可导，f（x土O)都存在，由单侧导数极限定理f*(x)= f'(x +0), f(x)= f(x-0)又f(x)= f(x)= f(x)，所以f'(x +0)= f(x -0)= f'(x)说明x必是f(x)的连续点。推论3设f在(a,b)上可导，如果f在(a,b)上单调，则f在(a,b)上必连续。证由单调函数只可能有第一类间断点，又f不存在第一类间断点，所以连续。【注】limf(x）不存在书f（x）不存在。→1x sin-X*011例如：(x):xf'(x)=2xsin-(x±0)-COS-0,x=0limf(x)不存在，但f"(O)=0例9[教材例3]求分段函数x+sinx2,x≤0,f(x)=x>0In(1 + x),的导数。解首先易得[1+2xcosx2, x<0,f'(x)=Ix>0.1+x由于f在点x=0连续，且f(0-0)= lim(1+2xcos x)=1, f'(0+0)= lim0*1+x所以limf(x)=1.依据导数极限定理推知f在x=0处可导，且f(0)=1例10求a,b使得8中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 所以 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x x f x fx f x ，即 0 0 ( ) lim ( ) x x f x f x 。 推论 2 导函数的间断点一定是第二类的。 证 设 f 在 可导， 0 U x( ) 0 f x ( 0 ) 都存在，由单侧导数极限定理 00 00 fx fx fx fx ( ) ( 0), ( ) ( 0) 又 0 0 () () ()0 f x fx fx ，所以 0 0 ( 0) ( 0) ( 0 f x fx f x ) 说明 0 x 必是 f ( ) x 的连续点。 推论 3 设 f 在( , a b)上可导，如果 f 在 上单调，则 (,) a b f 在 上必连续。 (,) a b 证 由单调函数只可能有第一类间断点，又 f 不存在第一类间断点，所以 f 连续。 【注】 0 lim ( ) x x f x 不存在 0 f ( ) x 不存在。 例如： 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ， 1 1 fx x x ( ) 2 sin cos ,( 0) x x 0 lim ( ) x f x 不存在，但 f (0) 0 例 9 [教材例 3] 求分段函数 2 sin , 0, ( ) ln(1 ), 0 x xx f x x x 的导数。 解 首先易得 2 1 2 cos , 0, ( ) 1 , 0 1 xxx f x x x . 由于 f 在点 连续，且 x 0 2 0 0 1 (0 0) lim(1 2 cos ) 1, (0 0) lim 1, x x 1 f x x f x 所以 .1)(lim 依据导数极限定理推知 在 0 xf x f x 0处可导,且 f .1)0( 例 10 求 使得 a b, 中国矿业大学数学学院 8
华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用[In(a+x), x>0f(x)=e'+b,x≤0在点x=0处可导，并求f(O)。解f在点x=0处连续，f(0+0)=f(0-0)=f(0)=1+b=lna1x>0f'(x)={a+xer,x<0,J(0-0) =1= f(0)=-, f(0)=1f(0+0)=-了在点x=0处可导，(0)=(0)==1aa=1,b=-1, f(0)=1【四】单调函数定理4设f(x）在区间上可导，则f(x）在1上递增（递减）的充要条件是f'(x)≥0 (≤0)证若f为增函数，则对每一x。EI，当x≠x。时，有J(x) - f(x0) ≥ 0.X-Xo令x→x，即得f(x。)≥0.反之,若f(x)在区间1上恒有f(x)≥0,则对任意x,x2EI(设x<x2），应用拉格朗日定理，存在e（x,x)c，使得f(x2)- f(x)= f'(E)(x, -x)≥0由此证得f在上为增函数，定理5若函数f在(a,b)上可导，则f在(a,b)上严格递增（严格递减）的充要条件是：()对一切xe(a,b)，有f(x)≥0(f(x)≤0);9中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 ln( ), 0 ( ) , 0 x ax x f x eb x 在点 处可导，并求 。 x 0 f (0) 解 f 在点 处连续， x 0 f (0 0) (0 0) (0) 1 ln ffb a 1 , 0 ( ) , 0 x x f x a x e x 1 1 f f ff (0 0) , (0 0) 1 (0) , (0) 1 a a f 在点 处可导， x 0 1 f f (0) (0) 1 a ab f 1, 1, (0) 1 【四】 单调函数 定理 4 设 在区间 xf )( I 上可导,则 在xf )( I 上递增（递减）的充要条件是 xf 0)( ( 0 ). 证 若 为增函数 f ,则对每一 Ix0 ,当 0 xx 时,有 .0 )()( 0 0 xx xfxf 令 ，即得 0 xx .0)( xf 0 反之,若 在区间 xf )( I 上恒有 xf 0)( ,则对任意 Ixx 21 , (设 < )，应用拉格朗日 定理，存在 1 x 2 x ), Ix2 (x 1 ，使得 .0))(()()( 2 1 xxfxfxf 12 由此证得 在f I 上为增函数． 定理 5 若函数 在( )上可导，则 在( )上严格递增（严格递减）的充要条件 是： f ,ba f ,ba (i) 对一切 ，有 bax ),( xf 0)( ( xf 0)( )； 中国矿业大学数学学院 9
华师大数学分析（第五版)讲义第六章微分中值定理及其应用(i）在(a,b)的任何子区间上f(x)丰0。证若f在(a,b)上严格递增，由f(x)≥0，(i)成立。现在用反证法证明(ii)成立。如果在某个子区间Ic(a,b)上，f(x)=0，则f(x)=c(xEI)，这与f在(a,b)上严格递增矛盾。反之，由(i)知，在(a,b)上递增。如不是严格增，即x,(a,b),<x，使得f(x)=f(x2)。从而f(x)=c(xe[x,xl)，因此f(x)=0(xe[x,x,D)，这与条件(i)矛盾。推论设函数在区间I上可导，若f(α)>0(f(x)<0)，则f在I上严格递增(严格递减).引理（教材中的注）在(a,b)上严格增，在点x=a右连续，则f在[a,b)上也严格增。证只需证Vx>a，有f(a)<f(x)，取a<x<x<x，则f(x)<f(x),令x→at= f(a)≤f(x)从而f(a)≤f(x)<f(xo)。例11讨论下面函数在R上的单调性：(1) f(x)=x; (2) f(x)=x+sinx解（1）f(x)=3x2≥0,f(x)=0的点只有一个x=0，故f严格增。(2）f(x)=1+cosx≥0，f(x)=0的点为x=2k元+元(k=0,±1,±2,.)，这些点不构成区间，所以故f严格增。例12[教材例4]设f(x)=x3-x：试讨论函数f的单调区间解由于f(x) = 3x2 -1=(V3x+1)(/3x -1)11f(x)=0=x=“万方·因此10中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 (ii) 在( ) ,ba 的任何子区间上 f x () 0 。 证 若 在f ( ) ,ba 上严格递增，由 xf 0)( ，(i)成立。现在用反证法证明(ii)成立。如果 在某个子区间 I ( , a b) 上， f x ( ) 0，则 f ( ) x cx I ( ) ，这与 在( )上严格递增矛 盾。 f ,ba 反之，由(i)知， f 在( ) ,ba 上递增。如不是严格增，即 1 2 1 2 x , ( , ), x ab x x 2 ，使得 1 f () () x fx 。从而 1 2 f ( ) x c ( [ , ]) x xx ，因此 1 2 f ( ) x x xx 0( [ , ]) ，这与条件(ii)矛 盾。 推论 设函数在区间 I 上可导，若 xfxf )0)((0)( ，则 f 在 I 上严格递增(严格递 减)． 引理 （教材中的注） f 在( , a b)上严格增，在点 x a 右连续，则 f 在[ , 上也严格 增。 a b) 证 只需证 0 x a ，有 0 f () ( ) a fx ，取 1 axx x 0，则 1 f ( ) ( ), x fx 令 1 x a fa fx () ( ) 从而 1 0 f () ( ) ( ) a fx fx 。 例 11 讨论下面函数在 R 上的单调性： （1） 3 f ( ) x x ；（2） f ( ) sin x x x 解 （1） 2 fx x ( ) 3 0, f x () 0 的点只有一个 x 0 ，故 f 严格增。 （2） fx x ( ) 1 cos 0 ， f x () 0 的点为 xk k 2 ( 0, 1, 2, ) ，这 些点不构成区间，所以故 f 严格增。 例 12 [教材例 4]设 xxxf ．试讨论函数 的单调区间． 3 )( f 解 由于 ),13)(13(13)( 2 xxf xx 1 1 () 0 , 3 3 fx x ，因此 中国矿业大学数学学院 10