线性代数实对称矩阵与实一次型第六章实对称矩阵与实二次型6.1欧氏空问6.2 实对称矩阵对角化6.3二次型及其矩阵表示6.4化二次型为标准形6.5正定二次型与正定矩阵?China University of Mining and Technology退页页质D退出X
线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 第六章 实对称矩阵与实二次型 6.1 欧氏空间 6.2 实对称矩阵对角化 6.3 二次型及其矩阵表示 6.4 化二次型为标准形 6.5 正定二次型与正定矩阵
线性代数实对称矩阵与实二次型学习要点：1.了解向量的内积、长度及正交等知识2.掌握实对称矩阵的对角化方法3.重点掌握实一次型的标准化方法，主要有正交变换和配方法两种常用方法：4.了解正定二次型的性质、判定和应用水China University of Mining and Technology退页页质后退山主
线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 学习要点： 1. 了解向量的内积、长度及正交等知识. 2. 掌握实对称矩阵的对角化方法. 3. 重点掌握实二次型的标准化方法，主要有正交变换和 配方法两种常用方法： 4. 了解正定二次型的性质、判定和应用
线性代数实对称矩阵与实一次型6.1欧氏空间n维向量空间是三维向量空间的直接推广，但是只定义了线性运算，而三维空间中有向量夹角和长度的概念，它们构成了三维空间丰富的内容我们希望把这两个概念推厂到n维向量空间中在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积)x·y = xly cos(x,y)建立标准的直角坐标系后，可用向量的坐标来计算内积设 x =(x1,x2,x3)T,y=(y1,y2,y3)T 则 x y = xiy1 + x2y2 + X3y3China University of Mining and Technology页退主页页后退出2L
线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 6.1 欧氏空间 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广， 但是只定义 了线性运算， 而三维空间中有向量夹角和长度的概念，它们 构成了三维空间丰富的内容. 我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中. 在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积) x y x y cos(x, y) 建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积 设 T T x (x , x , x ) , y ( y , y , y ) 1 2 3 1 2 3 则 1 1 2 2 3 3 x y x y x y x y
实对称矩阵与实二次型线性代数设有n维向量定义6.1 (内积的定义)x =(x,x,,...,x,), y=(yi,y2,...,y,)令 (x,y) =xy +xy, +...+xny, = x y= y'x称(x,v)为向量x与v的内积定义了内积的实向量空间称为Euclid空间?China University of Mining and Technology退页页质后退出主
线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 T n T n x (x , x , , x ) , y ( y , y , , y ) 1 2 1 2 1 1 2 2 , T T n n x y x y x y x y x y y x 称(x,y)为向量x与y的内积. 令 定义6.1 (内积的定义) 设有n维向量 定义了内积的实向量空间称为Euclid空间
线性代数实对称矩阵与实二次型性质6.1（内积的性质）(1) (x,y) =(y,x);(2)(ax,y) = (x, y);(3)(x+ y,z) =(x,z)+(y,z);(4)(x,x)≥0,且当x±0时,有(x,x)>0即当（x,x)=0时，必有x=0定义6.2（向量的长度）Ix = (x,x) = x2 + x2 +...+x,称x为n维向量x的长度（或范数）China University of Mining and Technology页退退页顶后出主
线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 (1) ( , ) ( , ); x y y x (2) ( , ) ( , ); x y x y (3) ( , ) ( , ) ( , ); x y z x z y z (4) ( , ) 0, 0 , ( , ) 0. x x x x x 且当 时 有 性质6.1 (内积的性质) 即当 ( , ) 0 0. x x x 时，必有 2 2 2 1 2 ( , ) , n x x x x x x 定义6.2（向量的长度） 称 x 为n维向量x的长度（或范数）