华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用() lim f(x) = lim g(x)= 0 :(i)在点xo的某空心邻域U(x。）上两者都可导，且g（x)0；(i) lim [()2=A(A可为实数，也可为±0或0)，r-→x g'(x)则f(x) = lim f'(x) = A.limx→xo g(x)x→ g'(x)证补充定义f(x）=g(x）=0，使得f与g在点x处连续。任取xeU（x），在区间[xo,x]或[x,x]上应用柯西中值定理，有f(x) _ f(x)-f(xo)-f'(),或x<<x g(5)"g(x)g(x)-g(xo)当x→x时，5→xo因此m=lim=lim = A.x-→ g(x)- g()-og'(u)【注】上面极限的理由完全同导数极限的证明（变量替换法）。（二型不定式极限）【定理3】若函数f和g满足：80(i）在x的某右邻域U°（x）上两者都可导，且g（x)0;(i) lim g(x)= 00;1→x0f'(x)2=A(A可为实数，也可为±,0）(ii)lim-→ g'(x)则f(x)f(αx) = A.= limlim-→g(x)x→ g'(x)[证明略]例1用洛必达法则证明下面等价无穷小(1)x~sinx~e-1~ln(1+x),x→012x,x→0(2) 1-cosx ~216中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 (i) 0)(lim)(lim ； 0 0 xgxf xx xx (ii) 在点 的某空心邻域 上两者都可导，且 0 x )( 0 xU xg 0)( ； (iii) A xg xf xx )( )( lim0 ( A 可为实数，也可为 或)， 则 . )( )( lim )( )( lim0 0 A xg xf xg xf xx xx 证 补充定义 0)()( 0 xgxf 0 ，使得 f 与 g 在点 处连续．任取 0 x x )( 0 xU ，在 区间[ ] 0 , xx 或[ ] x, x0 上应用柯西中值定理，有 0 0 () () () ( ) , () () ( ) () fx f fx fx gx gx gx g 0 x x 或 0 x x 当 时, 0 xx , 0 x 因此 00 0 () () () lim lim lim . () () () xx xx u x fx f f u A gx g g u 【注】上面极限的理由完全同导数极限的证明(变量替换法）。 【定理 3】 （ 型不定式极限） 若函数 和f g 满足： （i）在 0 x 的某右邻域 上两者都可导，且 )( 0 0 xU xg ;0)( (ii) 0 lim ( ) ; x x g x （iii） 0 ( ) lim x x ( ) f x A g x ( A 可为实数，也可为±, ) 则 0 0 () () lim lim . x x () () x x fx f x A gx g x [证明略] 例 1 用洛必达法则证明下面等价无穷小 （1） ~ sin ~ 1 ~ ln(1 ), 0 x x x e xx （2） 1 2 1 cos ~ , 0 2 x xx 中国矿业大学数学学院 16
华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用(3) (1+x)a-1~αx(α+0),x→0例2（几个无穷大的比较）(lnx)(β>0)<xa(α>0)<e,x→+0(Inx)eInx(1)limlimtalBxax-→+o1-xlnts1lim= limlim=0ttoyalB-+ (α/ β)xal β-IX-+ (α/ β)xalβxax(2)limlimtoer818xlim=lim=01-++00 ex/a- (1/a)et/a01-cosx+xsinx2sinx+xcosxx-xcosx例3limlim=limx-→0-01-cOsxx→0x-sinxsinxx2+=2+1=3=limcosxsinxVxT=Vet例 4limlimt-0"1-eV(→0t 1 - et1x-sinx 0/01-cosx例5lim/limlim-sinxxsinx0x→0*x-0*sinx+xsinx0/0sinx= lim=0x-→0*2cosx-xsinx(=1/3-lnt5 lim x'=lim ehx=e°=l,其中limxlnx =例6lim=0x→0*X-→0*x-→0*1t→+ooInsinxsinxx=e-6例 7 lim=limer，其中X→01-→0xxsinxxcosx-sinxIn -xcosx-sinxx= lim sinxlim= lim2x2xsinxx2x→0x-→0x->0等价无穷小替换1-xsinxxcosx-sinxlim= lim2x36x26x→0X-→0x+cosx例8lim→0x17中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 （3）(1 x xx ) 1 ~ ( 0), 0 例 2（几个无穷大的比较） 中国矿业大学数学学院 17 ln ( 0) ( 0) , x x x ex （1） / ln ln lim lim x x x x x x / / 1 1 ln 1 lim lim lim 0 () () x x x x x xx x / （2） / lim lim x x x x x x e e / / 1 lim lim 0 (1 ) x x x x x e e 例 3 0 0 0 0 00 0 cos 1 cos sin 2sin cos lim lim lim xx x sin 1 cos sin x x x xx x xx x xx x x 0 lim 2 cos 2 1 3 x sin x x x 例 4 0 0 lim lim 1 1 1 t x x t x t x t e e 例 5 0/0 0 00 1 1 sin 1 cos lim lim lim x xx sin sin sin sin x x x x x x x xx x 0/0 0 sin lim 0 x 2cos sin x xx x 例 6 ，其中 ln 0 0 0 lim lim 1 x xx x x x ee 1/ 0 ln lim ln lim 0 t x x t t x x t 例 7 2 2 1 1 sin 1 ln 6 0 0 sin lim lim x x x x x x x e x e ，其中 2 2 2 00 0 sin cos sin ln sin cos sin lim lim lim x x 2 2 x x xx x x sin x x x x xx x x x x 3 2 0 0 cos sin sin 1 lim lim x x 2 6 x x x xx x x 6 等价无穷小替换 例 8 cos limx x x x