《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第八章 多元函数微分法及其应用 8-2 偏导数及其在经济分析中的应用

有关偏导数的几点说明：au偏导数是一个整体记号，不能拆分;1.1ax2.求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;例如,设z= f(x,y)= /xy,求f(0, 0),f,(0, 0)x.0-0解f,(0,0)=lim= 0 = f,(0,0),x-→0x经济数学微积分

偏导数 x u   是一个整体记号，不能拆分; , ( , ) , (0, 0), (0, 0). x y 例如 设z = f x y = xy 求f f 有关偏导数的几点说明： １. ２. 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求； 解 x x f x x | 0 | 0 (0,0) lim 0  − = → = 0 (0,0). y = f

例 4已知理想气体的状态方程pV=RTaTavap(R为常数)，求证：-1.avopaTRTopRT证DVavVavRRTaTpVVRapaTRppVopavaTRRTRT1V2aTopavRpVpO0C经济数学微积分

例 4 已知理想气体的状态方程pV = RT （R为常数），求证： = −1         p T T V V p . 证 =  V RT p ; 2 V RT V p = −   =  p RT V ; p R T V =   =  R pV T ; R V p T =   =         p T T V V p 2 V RT − p R  R V  = −1. pV RT = −

二、偏导数的几何意义及函数偏导数存在与函数连续的关系1.几何意义偏导数f(xo,yo)就是曲面被平面y=yo所截得的曲线在点M.处的切线M,T.对x 轴的斜率,偏导数f,(xo,yo)就是曲面被平面x=xo所截得的曲线在点M.处的切线M.T,对y轴的斜率。经济数学微积分

二、偏导数的几何意义 及函数偏导数存在与函数连续的关系 偏导数 ( , ) 0 0 f x y x 就是曲面被平面 0 y = y 所截得的曲线在点M0处的切线M0Tx 对x 轴的 斜率. 偏导数 ( , ) 0 0 f x y y 就是曲面被平面x = x0 所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y 轴的 斜率. 1．几何意义

图示设 M.(xo,o,f(xo,Jo)为曲面 z= f(x,y)上一点,Zz= f(x,yo)z= f(x,)经济数学微积分

图示 ( , , ( , )) ( , ) , 设 M0 x0 y0 f x0 y0 为曲面 z = f x y 上一点

2.偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导 →连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在xy+y±0r-2例如,函数f(x,)=x2+[0,x2 + y2=0依定义知在(0,0)处，f,(0,0)= f,(0,0)=0.但函数在该点处并不连续．偏导数存在连续经济数学微积分

2.偏导数存在与连续的关系 例如,函数      + = +  = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y , 依定义知在(0,0)处， f x (0,0) = f y (0,0) = 0. 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续