《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第八章 多元函数微分法及其应用 8-2 偏导数及其在经济分析中的应用

注意：实际求z=f(x,J)的偏导数时，因为始终只有一个自变量在变动，另一个自变量可看作常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解求解afL把y暂时看作常量而对求导数axafL把x暂时看作常量而对求导数ay经济数学微积分

注意： 实际求 的偏导数时，因为始终只 有一个自变量在变动，另一个自变量可看作 常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解. z = f (x, y) 求解 x f   把y暂时看作常量而对x求导数 y f   把x暂时看作常量而对y求导数

例1求z=x2+3xy+y在点(1,2) 处的偏导数。azOz解2x+3y;3x+2y.axayOz=2×1+3×2=8,X=1:axy=2azx=1 =3×1+2×2=7.ayV=2微积分经济数学

例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2) 处的偏导数． 解 =   x z 2x + 3y ; =   y z 3x + 2y . =    = = 2 1 y x x z 21+ 32 = 8 , =   = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7

例 2设z=x(x>0,x±1)1 x zaz求证2z.In x ayyaxazaz证Inx.axay1x Oz1 αzxVyaxInx dyInxy原结论成立。=x+x* =2z.化经济数学微积分

例 2 设 y z = x (x  0, x  1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   . 证 =   x z , y−1 yx =   y z x ln x, y y z x x z y x   +   ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立．

Ozx7例3 设z=arcsinay1azx解?ax1+y+vV(Vy? =lyD)(x* + y")3IylIylx? + y?经济数学微积分

例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z   ， y z   . 解 =   x z          +  + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | (x y ) y y x y +  + = . | | 2 2 x y y + = ( | |) 2 y = y

OzxayYx+y(-xy)(x*+y")Iyl1x(y + 0)sgny+yaz不存在.ayx+0y=0微积分经济数学

=   y z          +  + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + −  + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y  0) 0 0 =    y y x z 不存在．