《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形

第五章相似矩阵与二次型 例如，二次型∫=x子-3x子-4x2x3+x的矩阵为 1 0 0 A= 0 -3-2 0 -2 1

第五章 相似矩阵与二次型 2 2 2 1 2 2 3 3 例如，二次型f x x x x x = − − + 3 4 的矩阵为 1 0 0 032 0 2 1 A     = − −       −

第五章相似矩阵与二次型 我们知道，经过线性变换二次型仍为二次型， 下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系。 设二次型f=XAX,作可逆线性变换X=CY f=X'AX=(CY)A(CY) -Y'(C'AC)Y=YBY 其中B=C'AC 因为B'=(C'AC)'=C'A(C)'=B 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 我们知道，经过线性变换二次型仍为二次型， 下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系. 设二次型f X AX X CY = =  ，作可逆线性变换 f X AX CY A CY = =   ( ) ( ) = = Y C AC Y Y BY    ( ) 其中B C AC =  因为B C AC C A C B       = = = ( ) ( ) 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵

第五章相似矩阵与二次型 定义5.2.2设A,B是两个阶方阵，如果存在一个可逆 矩阵C,使得B=C'AC,则称A和B是合同的， 由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩阵与原二次 型的矩阵合同. 由于两个矩阵合同则一定等价，因而他们有相同的秩

第五章 相似矩阵与二次型 5.2. , . 2 A B n C B C AC A B =  设 是两个 阶方阵，如果存在一个可逆 矩阵 ，使得 ，则称 和 定 是合同的 义 由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩阵与原二次 型的矩阵合同. 由于两个矩阵合同则一定等价，因而他们有相同的秩

第五章相似矩阵与二次型 三、二次型的标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆线 性变换使二次型只含平方项 如果一个二次型f=x'Ax经过可逆线性变换 x=Cy能化成(5-13)式的形式， f=y+22y+.+九Jy员 (5-13) 则称(5-13)式为该二次型的标准型

第五章 相似矩阵与二次型 三、二次型的标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆线 性变换使二次型只含平方项. 2 2 2 1 1 2 2 y . (5 13) n n f x Ax x C f y y y    =  = = + + + − 如果一个二次型 经过可逆线性变换 能化成(5-13)式的形式， 则称(5-13)式为该二次型的标准型

第五章相似矩阵与二次型 说明： 1.标准二次型的矩阵是对角矩阵 n 2.要使二次型f经可逆变换x=Cy变成标准形， 就是要使y'CACy=y+2y?+.+ny 也就是要使C'AC成为对角矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 2 2 2 1 1 2 2 2 , . n n . f x Cy y C ACy y y y C AC    =   = + + +  要使二次型 经可逆变换 变成标准 形 就 是 要 使 也 就 是 要 使 成 为对 角 矩 阵1 2 1 ; n .                标准 二 次 型 的 矩 阵是对角 矩 阵 说明：