第二章矩阵与向量 §2.4矩阵的秩 矩阵的行（列秩、秩 矩阵秩与向量组的极大 无关组、秩的求法 三、矩阵秩的第二定义 四、小结
第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩 一、 矩阵的行(列)秩、秩 二、 矩阵秩与向量组的极大 无关组、秩的求法 三、矩阵秩的第二定义 四、小结
第二章矩阵与向量 一、矩阵的行（列秩、秩 1.定义2.4.1设mXn矩阵A,称A的行向量组的秩称 为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 101 例1求矩阵A= 01 2的行秩和列秩 214 解：A的行向量α1=(1,0,1)，2=(0,1,2)，c3=(2,1,4) 101 由行列式012=0，知向量组a1,a2,线性相关， 214
第二章 矩阵与向量 1.定义2.4.1 设m×n矩阵A，称A 的行向量组的秩称 为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 一、矩阵的行(列)秩、秩 1 0 1 1 0 1 2 . 2 1 4 A = 例 求矩阵 的行秩和列秩 1 2 3 A的行向量 = = = (1,0,1), (0,1,2), (2,1,4) 1 2 3 1 0 1 0 1 2 0 , , 2 1 4 由行列式 = ，知向量组 线性相关， 解：
第二章矩阵与向量 又，线性无关，故，a,是4的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵A的行秩等于2. 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1131 例2求矩阵A= 02-14的行秩和列秩 0005 解：A的行向量a=(1,1,3,1),2=(0,2,-1,4), a3=(0,0,0,5). 去掉第三个分量的a=(1,1,1),2=(0,2,4), 3=(0,0,5)
第二章 矩阵与向量 1 2 1 2 , , 2. A A 又 线性无关，故 是 的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵 的行秩等于 1 2 3 (1,1,3,1), (0,2, 1,4), (0,0,0,5). A = = − = 的行向量 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1 1 3 1 2 0 2 1 4 . 0 0 0 5 A = − 例 求矩阵 的行秩和列秩 解： 1 2 3 (1,1,1), (0,2,4), (0,0,5). = = = 去掉第三个分量的
第二章矩阵与向量 111 由行列式024=10≠0， 知向量组a,a,a线性无关 005 由§2.3例5知，向量组a1,2,也线性无关， 所以A的行秩为3. 「1 A的列向量组B,= 4 4个三维向量必线性相关，而其中B1B2B,线性无关
第二章 矩阵与向量 1 2 3 111 0 2 4 10 0 , , 005 由行列式 = ，知向量组 线性无关. § 1 2 3 2.3 5 , , A 3. 由 例 知，向量组 也线性无关， 所以 的行秩为 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 A = = = − = 的列向量组 4个三维向量必线性相关，而其中β1β2β4线性无关
第二章矩阵与向量 因为 1 0 0 1 2 0=10≠0 145 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的， 为了证明这一点，我们有以下两个定理 2矩阵的初等行列变换矩阵的行列秩的影响。 定理2.4.1初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩， 证明：此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩证明之，其余两种课下自己来完成
第二章 矩阵与向量 1 0 0 1 2 0 10 0 1 4 5 = 因为 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理. 定理2.4.1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 证明： 此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩证明之，其余两种课下自己来完成. 2.矩阵的初等行列变换对矩阵的行(列)秩的影响