《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第二章 向量与矩阵 §2.3 向量组的线性相关性

第二章矩阵与向量 2.3 向量组的线性相关性 线性相关性的概念 三、 线性相关性的判定 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组 五、向量组的秩 六、向量空间的基与向量的坐标

第二章 矩阵与向量 二、线性相关性的判定 一、线性相关性的概念 §2.3 向量组的线性相关性 六、向量空间的基与向量的坐标 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组 五、向量组的秩

第二章矩阵与向量 、线性相关与线性无关的概念 在向量线性运算的基础上，讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1对于向量1,2，0m和a,若存在m 个数21,2，.，1m,使得： a=九11+2a2+.+九mm 则称a是%1,2，Cm的线性组合，1,2·，m称 为组合系数，或称向量a可由向量组1,2，&m线 性表示 显然，零向量是任何一组向量的线性组合

第二章 矩阵与向量 一、线性相关与线性无关的概念 在向量线性运算的基础上,讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1 对于向量1 ,2 ,., m和，若存在m 个数1 ,2 ,. ,m ，使得：  = 11 + 22 + .+ mm 则称是1 ,2 ,.,m的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称 为组合系数,或称向量可由向量组1 ,2 ,.,m线 性表示 . 显然，零向量是任何一组向量的线性组合

第二章矩阵与向量 例1设n维向量 61=(1,0,.,0) 62=(0,1,.,0) En=(0,0,.,1) a=(41,42,.,n)是任意一个n维向量，由于 0=0181+2B2+.+0n8n 所以a是61,82，.，8n的线性组合. 通常称61,62，6n为n维单位坐标向量组， 同维数的向量所组成的集合称为向量组

第二章 矩阵与向量 1 2 1 2 1 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) n n n a a a n     =  =  =  =  例 设 维向量 是任意一个 维向量，由于 1 1 2 2 1 2 , , , . n n n     a a a     = + ++ 所以 是  的线性组合 同维数的向量所组成的集合称为向量组. 通常称 1 2 , , , n     为n维单位坐标向量组

第二章矩阵与向量 例2证明向量a=(0,4,2)是向量，=(1,2,3)， 2=(2,3,1),%=(3,1,2)的线性组合，并将 a用a1,a2,Q,线性表示. 解：先假定a=a,+几2必2+23？即 (0,4,2)=2(1,2,3)+22(2,3,1)+2(3,1,2) =(21+222+32,22+322+入3,321+22+22) 因此 2+222+323=0, 22+322+元3=4， 32+22+223=2

第二章 矩阵与向量 1 2 3 1 2 3 2 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) , , .         = = = = 例 证明向量 是向量 ， ， 的线性组合，并将 用 线性表示 1 2 3 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) = + +    1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + + + + + ( 2 3 ,2 3 ,3 2 )          因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.           + + =   + + =  + + =  解：先假定        = + + 1 1 2 2 3 3， 即

第二章矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 2 3 23 1 =-18≠0， 3 1 2 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 21=1,22=1,23=-1 于是a可表示为C=1+a2一03

第二章 矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2 = −  由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3    = = = − 1, 1, 1 于是可表示为     = + − 1 2 3